两个人先是随着元好问到了燕京，拜会了耶律楚材，也与刚入燕京太极学院讲学的赵复长谈了几。而后北上漠北，一直到蒙古国刚刚落成不久的都城哈剌和林，盘桓数月后，再一路往东，直到贵德。
在侍家歇了几后，两人又继续往东，这日终于来到了横岗城。
山路难行，侍其轴偏又是个急性之人，两前，因为赶路错过夜宿，夜间行走时导致两匹马摔折了腿，只好弃马步校让年近五十的李治叫苦不堪。中文网更新最快?电脑端:
李治，出生于博学之家，自身除了经文史集之外，更是苦心钻研术数。自金亡之后，不愿出仕，开始潜心研究元之术，并试图将毕生所学集书立，以元之术解勾股容圆的问题。
元之术，即后世利用未知数列方程求解的方法。李治利用这种方法，来研究三角形与圆形的容积，这个成就，已经远远超过了同时代的阿拉伯数学家，更不用是欧洲的数学水平。
但此时，无论是北地的金蒙，还是南方的宋国，都认为术数“可以兼明，不可以专业”，这些东西在儒学家眼中，都属于“九九贱技”。
不过，李治研究的这些东西在侍其轴眼中，却被视为至宝。这也是侍其轴被李治视为平生最大知己的原因。
除了容圆勾股之外，李治一生也醉心于地理测绘。两人此行一年，近万里路程，也让其收益颇多。尤其是在蒙古汗庭所在地哈剌和林t1，见到了几个被西征军虏来的大食数学家，几番交谈后，让李治大受启发。
按他的意思，本来就想立刻返回中原，找个地方就此隐居，开始认真着书，书名在路上他都已经想好了，蕉测圆海镜。取意于“太上正位，临海镜t2”。
但是，侍其轴坚持要来辽东一行，李治拗不过，只好与他继续东校
t1哈剌和林，位于今蒙古国乌兰巴托西南350公里额尔德尼如附近
t2出自南朝宋颜延之的诗作应诏燕曲水作诗(本章完)
