7-1 用贝叶斯推理解开壶的问题
在上一讲中，我们已经了解到如何用标准的概率性推论——内曼－皮尔逊统计学来解答关于壶的判断问题。这是用假设检验的方法，如果可以设定显著水平为10％，那么从“观察到黑球”的现象，就可以得出“是B壶”的结论。但需要注意的是：如果反复使用这种方法，那么一定要意识到还有10％的概率会做出错误的判断。下面将要阐述的是：如果把显著水平设定为通用的5％或1％，就只是从“观察到只有1个球”这个假设检验中，则不能够对壶的问题做出判断。
从另一方面来讲，如果运用贝叶斯推理，按照前4讲中所述的方法，也可以对壶的问题进行概率性推论，并且不需要类似显著水平这样的概念。下面，我们用贝叶斯推理方法对壶的问题来进行说明。
7-2 把A壶和B壶分别设定为一个类别
首先，我们再重复一遍问题设定。
问题设定
面前有一只壶，已知这个壶不是A壶就是B壶，但是单从外表看不出究竟是哪个。而目前已知的是：A壶中有9个白球和1个黑球，B壶中有2个白球和8个黑球。现在，如果从壶里取出1个球，并且这个球是黑色的，那么，面前的这个壶究竟是A还是B呢？
和之前一样，我们先来设定类别。由于需要判断的问题是：面前的这只壶，是A壶还是B壶？因此，需要设定的类别自然也分为A和B。
接下来的步骤是设定先验概率。由于我们暂时不知道这只壶是A壶还是B壶，并且也不知道壶里装有什么颜色的球（在观察球之前），所以，只能运用“理由不充分原理”。换言之，将“是A壶”和“是B壶”的先验概率均设为0.5，此时，用长方形来表示的可能存在的情况，则如图表7-1所示，总共被划分成两等份。
图表7-1 根据理由不充分原理设定的先验分布情况
然后，设定在各类别中，出现黑球或白球的条件概率。在“是A壶”的情况下，出现黑球的条件概率为0.1，出现白球的条件概率为0.9；而在“是B壶”的情况下，出现黑球的条件概率为0.8，出现白球的条件概率为0.2。把这些具体情况填入图中，则如图表7-2所示，共有4种可能出现的情况。
图表7-2 条件概率的设定
下一步，是把4种可能出现的情况的概率填写进去。同时，请回想一下，前面我们曾讲：“长方形的面积”可视为概率（图表7-3）。
图表7-3 计算四种可能性的概率
由于最终观察到球的颜色为黑色，因此白球的可能被完全排除在外，如图表7-4所示。把观察到黑球的2种情况用图来表示，并将各概率标准化处理，如下所示：
（该壶为A壶的后验概率）：（该壶为B壶的后验概率）
＝0.5×0.1:0.5×0.8
＝1:8
＝1/9:8/9
换言之，在观察到黑球的前提下，该壶为A壶的后验概率为1/9，约等于0.11；而该壶为B壶的后验概率为8/9，约等于0.89。由于后者是前者的8倍，因此，判断该壶为B壶较为妥当。
图表7-4 排除掉两种可能性
7-3 贝叶斯推理无论在何种条件下，都能得出一个暂时的结果
正如大家所看到的，贝叶斯推理并没有像内曼－皮尔逊统计学的假设检验那样，有关于显著水平的设定。贝叶斯推理的强项是“无论在何种条件下，都能得出一个暂时的结果”。但是，这个结果并不像内曼－皮尔逊统计学那样，得出一个单方面的判断（非A即B），而是认为两种可能性都有，并赋予这两种可能性相应的比例关系，仅此而已。而“看到数值之后，做出判断”的工作，就留给统计学家们了。因此，贝叶斯推理也常被称为“总经理的概率”，它的含义是：贝叶斯推理就像是公司职员进行筛选和鉴别，最终由总经理根据下属报告上来的数值进行判断。
关于判断究竟是哪个壶的问题：假设在A壶的10个球中，黑球的个数为x；B壶的10个球中，黑球的个数为y，之后观察到出现了黑球，那么：
