在说明计算方法之前，首先解释一下贝叶斯更新的概念：我们认为，洗澡用的热水水温，遵循事前为平均值42℃、标准偏差为3的正态分布。因此，若用1个数值来代表的话，则估计期待值（＝平均值）为42℃。但是，由于用不准确的温度计测量出的水温为40℃，那么根据这条信息，就可以得出关于θ的后验分布，表示为图表21-1右侧的正态分布。这一概率分布的期待值在顶点位置（挑担人偶的支点），也就是正态分布的平均值，为40.6℃。以上为获得信息之后，对于水温的推理值。
上述贝叶斯推理过程，可以通过图表21-2来理解。
图表21-2 通过温度计的测量结果，对信息进行修改
换言之，虽然最初的观点（预想）为42℃，但之后，以通过温度计得到的测量结果40℃为参考，进行了修改。虽然修改后的值，比起最初的42℃更接近40℃，但绝非40℃。之所以会出现这样的结果，是因为温度计的测量存在误差/偏差（标准偏差），所以这一部分的结果是不可信的。因此，我们并没有修改测量值为40℃，而是保留了40.6℃的结果。
这一结果，比起42℃和40℃的中间值41℃，更接近40℃，那么为何要修改为这一数值呢？原因在于，表示先验分布的误差/偏差的标准偏差为3，但温度计显示的测量的误差/偏差的标准偏差为2，后者的误差相对较小。这意味着，根据误差/偏差相对较小的温度计得出的结果，对于先验分布的推算影响较大，想来这也是自然的。
21-5 根据正态分布进行贝叶斯推理的公式
接下来，对于上上节中进行的、将正态分布作为共轭先验分布而进行的推理计算进行说明。
根据正态分布进行贝叶斯推理的公式
将需要推理的θ的先验分布设定为平均值μ0、标准偏差σ0的正态分布；将观察的信息x设为遵循平均θ、标准偏差σ的正态分布。至于μ0、σ0、σ，则设为具体已知的数值。换言之，设定关于信息x的附带条件概率密度p（x|θ）为平均值θ、标准偏差σ的正态分布。
（ⅰ）只观察1次信息时的公式：
把观测到的值设为x，则：
（观测到x之后，θ的后验分布）p（θ|x）为关于θ的正态分布。
（ⅱ）观察n次信息时的公式：
若把观测到的n个数值的平均值（为（观察值的合计）÷n）记为x，
以下，用略显烦琐的文字来进行解说：
首先，标准偏差的2次方是被称为“方差”的量。方差，也是标准统计学中重要的统计量之一。
在正态分布中，后验分布的平均值按照以下方法进行计算：
观测值只有1个的情况下，按照以下公式计算：
（先验分布的平均值）÷（先验分布的方差）＋（观测值）÷（信息x的方差）
之后，用下面的式子相除：
（先验分布的方差的倒数）＋（信息x的方差的倒数）
此处，若重现21-3中的计算，则为：
在该计算中，由于用方差大的数进行除法运算之后，结果反而变小，所以我们得知：方差小的数值对于修正值的影响更大。
那么，n次观察后的x平均方差，则为上述结果的2次方，即：
（原来的方差）÷n
21-6 测量两次水温之后的贝叶斯推理
最后我们来研究，如果测量两次水温的话，烧水的问题该如何推理呢。运用上一节的公式（ⅱ），并将21-2中的问题进行如下变更：
用不准确的温度计测量两次热水的温度
要把洗澡水加热到适宜的温度42℃。当认为已经烧开的时候，便用温度计测量了水温。但由于所使用的温度计不够准确，因此设定测量的温度x，遵循以实际温度θ为平均值、标准偏差为2℃的正态分布的概率分布。现在，温度计显示的温度为：第一次为40℃，第二次为41℃。那么，实际的水温为多少度呢？
那么，这两次测量值的平均值为：
因此，运用上一节中的公式（ⅱ），（注意n＝2），通过以下方法计算正态分布p（θ|＝40.5）的平均值（期待值），为：
这以结果反映了两次测量结果的修正值。
