面前有一只壶，已知这个壶不是A壶就是B壶，但是单从外表看不出究竟是哪个。而目前已知的是：A壶中有9个白球和1个黑球，B壶中有2个白球和8个黑球。现在，如果从壶里取出1个球，并且这个球是黑色的，那么，面前的这个壶究竟是A还是B呢？
在这个案例中，所有的可能性共有4种。用专有名词可以表述为：基本事件的集合＝{A＆黑球，A＆白球，B＆黑球，B＆白球}，也就是直积试验的各个事件，如图表15-2所示。
第7讲和第13讲中虽然提出了“从A壶中取出的球是黑球的概率为0.1”的观点，但并没有对其含义进行严密的说明。实际上，“从A壶中取出的球是黑球的概率为0.1”，正是指上一节中所定义的条件概率，也就是在获得“该壶为A壶”这个信息之后，得出的“取出的球为黑球”的概率。
图表15-2 条件概率的设定
用公式来表达，即：
P（黑球|A）＝0.1
此时，请回想一下第7讲中计算出的“A＆黑球”的概率，为0.5×0.1。如果使用上一节中提到的条件概率来定义该计算，就能够理解一下这种整合性的计算方法。
图表15-3A＆黑球，是事件“A”和事件“黑球”的重叠部分
先来看一下图表15-3，在直积试验中，事件A可表示为：
A＝{A＆黑球，A＆白球}
即，“该壶为A壶，球为任意颜色”的事件。同理，事件“黑球”可表示为：
“黑球”＝{A＆黑球，B＆黑球}
也就是说，
事件A和事件“黑球”的重叠＝{A＆黑球}
像这样，在直积试验中，事件的重叠自然与“＆”是相同的。
那么，根据上一节中关于条件概率的定义，可以写为：
p（黑|A）＝p（事件A和事件“黑球”的重叠）÷p（A）
＝p（A＆黑球）÷p（A）
用乘法算式来表达，则为：
p（A＆黑球）＝p（A）×p（黑|A）…（1）
这里，类别A的概率为0.5。此外，从A中观察到为黑球的条件概率p（黑|A）被设定为0.1，所以，
p（A＆黑球）＝0.5×0.1＝0.05 …（2）
这样，便可以用乘法计算出A＆黑球的概率。以上表示的是“概率即为长方形的面积”以及“整合性”的问题。对上述进行抽象描述，即关于贝叶斯推理的公式：
＆事件的概率法则
p（类别＆信息）＝p（类别）×p（信息|类别）
换言之，用＆来连接的类别和信息所构成的可能性的概率为：将“类别的先验概率”和“在【这个类别】的基础上，能够得到这条信息的条件概率”相乘的结果。
15-4 通过条件概率的公式理解后验概率
接下来，终于到了解说绍贝叶斯推理条件概率的使用方法第二阶段的环节。
用壶的例子来解释的话，贝叶斯推理就是通过“取出的球为黑球”这一信息，来推测“该壶为B壶”的概率。由于“取出的球为黑球”是观察的“结果”，而“该壶为B壶”是“原因”，从“结果”来推测“原因”，听起来是一个奇妙的过程。而这个过程之所能够实现，关键就在于条件概率的定义。
我们要计算的是：在获得到“取出的球为黑球”这一信息之后，“该壶为B壶”的概率。由于已经明确定义了条件概率，因此可以完全确定下来，即条件概率为：
p（B|黑）
而该条件概率的计算方法，在15-2中已经给出，即：
p（B|黑）＝p（B＆黑球）÷p（黑球）…（3）
的计算，可以求出。因此，只要知道概率p（B＆黑球）和概率p（黑球）的数值，然后用除法运算，就可以求出了。
前面的p（B＆黑球），运用刚刚在（1）（2）式子中求出p（A＆黑球）同样的计算方法，就可以求出。即为，
p（B＆黑球）＝p（B）×p（黑|B）…（4）
