接下来，用形象的方式来说明“分散”“扩大”的概念。由于平均值μ位于概率分布图顶点的位置，因此，最容易观察到数值。因而，如果被问到“你能预言可以观察到什么吗”的时候，回答“我可以预言在‘μ附近’”，是比较稳妥的。但是，若说这个预言的准确度如何，则要依存于“分散”“扩大”的程度。如果是分布的状态为山顶高、山脚低，那么由于μ附近的数值容易被观察到，则预言的准确度相对较高。但如果分布的状态为山顶低、山脚高，那么反而会观察到，远离μ的数值出现的频率高。因此，偏离预言的可能性就会增高，导致准确度降低。
也就是说，我们可以想象为，标准偏差σ表示的是“从观察值的平均值中，误差/偏差的程度”的指标。本书后面不对标准偏差进行更深入的探讨，如果想了解更多内容，可以参考相关书目《完全自学 统计学入门》（详见参考文献⑨）。
那么，只要确定μ和σ，就能决定一个一般的正态分布。尤其是标准正态分布，它对应μ＝0、σ＝1。
用σ＝2、μ＝3来举例说明上述内容，则如图表20-3所示。
图表20-3 一般的正态分布
上方部分为标准正态分布的分布图，顶点在x＝0的位置，扩大宽度为1。下方左侧的图像为，将该标准正态分布向左右两侧扩大2倍之后得到的图像。此时，函数图像的倾斜度稍微平缓了一些。为了保证总面积为1，其对应的x位置的高度同样需要变为1/2。通过这个操作，可以得出标准偏差σ＝2的正态分布（平均值μ保持为0不变）。下方右侧的图为，将该图像向右平行移动＋3后得到的图像。那么顶点自然变为了x＝3所对应的位置。通过这个操作，可以得出平均值μ＝3的正态分布。按照这样的方式，可以得到μ＝3、σ＝2的正态分布的概率分布图。
综上，可以得出以下结论：
一般正态分布的性质
?只要赋予平均值μ和标准偏差σ，就能确定一个正态分布。
?μ的含义为分布的平均值。表示为图表的顶点位置，因此也是挑担人偶的平衡支点。
?σ表示分布的标准偏差。即表示图表左右扩大多少，其含义是分布的“扩大”“分布”。
?标准正态分布是指μ＝0、σ＝1的情况。平均值μ、标准偏差σ的正态分布的分布图，是在不改变标准正态分布的分布图面积的情况下，左右延长σ倍，y方向延长1/σ倍，并且只在x方向上平行移动μ。
20-4 将一般正态分布概率转换为标准正态分布形式
若已知标准正态分布的概率，就能很容易地计算出一般正态分布的概率。
下面我们来进行实际操作：例如，在μ＝3、σ＝2的正态分布中，计算在1≤x≤5的范围中观察到x的概率。
正如刚才的解说，标准正态分布（μ＝0、σ＝1的正态分布）的图像，是左右扩大2倍，同时横向平行移动＋3后得到的。因此，如果把它调转过来，即横向平行移动-3，同时左右缩小1/2，就能恢复到标准正态分布的状态。
也就是说，把变量x变形为z＝（x-3）/2，变量z就会成为遵循标准正态分布的变量。于是可以得到：
1≤x≤5
→1-3≤x-3≤5-3
→-2≤x-3≤2
→-2/2≤（x-3）/2≤2/2
从这个变形中，又可以得到：
用概率的符号进行表示，则为：
因此，在μ＝3、σ＝2的正态分布中，计算在1≤x≤5的范围中观察到x的概率，与在标准正态分布中观察满足-1≤z≤1的z的概率是相同的。换言之，这个概率，与20-2中所出的结果是一样的，即约为0.6826。
p（1≤x≤5）≈0.6826
20-5 正态分布的多个观测值的平均值为正态分布
正态分布具有以下神奇的性质：
正态分布观测结果的平均值具有何种性质
根据平均值μ、标准偏差σ的正态分布观测到n个数值，取平均值记为x，即
