至于毕达哥拉斯的定理，在几何上、在数论上都很有不少的发展。详细地说，这里当然不可能，喜欢读数学的人，总很容易知道，现在只大略叙述一点。
在几何上，我们有三个定理平列着：
（一）直角三角形，斜边的平方等于另两边的平方的和。
（二）钝角三角形，对钝角的一边的平方，等于另两边的平方的和加上这两边中的一边和另一边在它的上面的射影的乘积的二倍。
（三）锐角三角形，对某锐角的一边的平方，等于另两边的平方的和减去这两边中的一边和另一边在它的上面的射影的乘积的二倍。
单只这样说，也许不很容易清楚，我们再用图和算式来表明它们。
（1）是直角三角形，A是直角，BC是斜边，上面的定理用式子来表示就是：
BC2=AB2+AC2
（2）是钝角三角形，A是钝角，上面的定理用式子表示是这样：
BC2=AB2+AC2+2AB×DA
（3）是锐角三角形，A是锐角，上面的定理可以用下式表示：
BC2=AB2+AC2-2AB×DA
三条直线围成一个三角形，由角的形式上说，总只有直角、钝角和锐角三种，所以既有了这三个定理，三角形三边的长度的关系，已经全然明白了。但分成三个定理，究竟，记起来未免麻烦，还是有些不适于我们的懒脾气。能够想一个方法，将这三个定理合并成一个，岂不是其妙无比吗？
人，一方面固然懒，然而所以容许懒也就因为有些人高兴而且能够替懒人想方法的缘故。我们想把这三个定理并成一个，也就真有人替我们想出方法来。他对我们这样说：
“你记好两件事：第一件，在图上，从C画垂线到AB，若这条垂线，画来正好和CA重在一块儿，那么D和A也就分不开，两点并成了一点，DA的长是零。第二件，若从C画垂线到AB，这垂线是落在三角形的外面，那么，C点也就在AB的外边，DA的长算是‘正’的；若垂线是落在三角形的里面，那么，D点就在AB的中间，DA在上面是从外向里，在这里却是从里向外，恰好相反，这就算它是‘负的’。”
记好这两件事，上面的三个定理，就只有一个了，那便是：
三角形一边的平方等于另两边的平方的和，加上，这两边中的一边和另一边在它上面的射影的乘积的二倍。
若用式子表示，那就是前面的第二个：
BC2=AB2+CA2+2AB×DA
照上面别人的吩咐，若A是直角，DA等于零，所以式子右边的第三项没有了；若A是钝角，DA是正的，这第三项也是正的，便要加到前面的两项的和去；若A是锐角，DA是负的，这第三项也是负的，便只好从前面的两项的和减出来。
到了这一步，毕达哥拉斯的定理算是真进步到很普遍、很单纯了。记起来既便当，用起来也简单，依据它要往前进展自然容易得多。
上面只是讲到几何方面的进展，以下再来讲数论方面的，这和图没有关系，所以我们先将它用简单的式子写出来，就是：
x2+y2=z2
从这个式子，很可以发生出许多有趣味的问题，比如说，x，y，z若是相连的正整数，能够合于这个式子的条件的，究竟有多少呢？所谓相连的整数就是后一个比前一个只大一的，假如我们设y的数值是n，x比它小1，就应当是n减1，z比它大1，就应当是n加1，因为它们合于这个式子的条件，所以：
（n-1）2+n2=（n+1）2
将这个方程式解出来，我们知道n只能等于0或4，而y等于0，x是负1，z是正1，这不是三个连续正整数。所以y只有等于4，x只有等于3，z只有等于5。真巧极了，这便是中国的老数学书上的“勾三股四弦五”的说法！我们的老祖宗真比我们聪明得多！
由别的方面，若x，y，z都是整数，也还有许多性质可以研究，而且都是很有趣的，但这里不是编数学讲义，只得放过一旁暂且不表。
掉过方向，不管x，y，z，来看它们的指数，若那指数不是2而是n，那式子就是：
xn+yn=zn
