不用说，这个定义比以前的都广泛得多，它已离开了数、量、测量，等等这些名词。我们知道，数学的基础是建筑在几个所谓公理上面的。从方法上说，不过由这几个公理出发，逐渐演绎出去而组成一个秩序整然的系统。所谓公式、定理，只是这演绎所得的结论。
照这般说法，皮尔士的定义可以算得完全无缺吗？
不！依了几个基本的公理，照逻辑的法则演绎出的结论，只是“必然的”，若说是“必要”，那就很可怀疑。我们若要问怎样的结论才是必要的，这岂不是很难回答吗？
更进一步说，现在的数学领域里面，固然大部分还是采用着老法门，但是像皮亚诺、布尔和罗素这些先生们，却又走着一条相反的途径，他们要掉一个方向对于数学的基础去下寻根问底的功夫。
于是，这个新鲜的定义又免不了摇动。
关于这定义的改正，我们可以举出肯普的来看，他说：
“数学是一种这样的科学，我们用了它来研究思想的题材的性质的。而这里所说的思想，是归依到含着相异和相同、个别和复合的一个数的概念上面。”
这个定义，实在太严肃太文气了，而且意味也有点含混。在肯普以后，博歇把它改变了一下，便这样说：
“倘若我们有某一群的事件同着某一群的关系，而我们所要研究的问题，又单只是这些事件是否适合于这些关系，这种研究便称为数学。”
在这个定义中，有一点最值得注意，博歇提出了“关系”这一个词来解释数学，它并不用什么数咧、量咧这些家伙，因此很巧妙地将数学的范围扩张到“计算”以外。
假如我们只照惯用的意义来解释“计算”，那么，到了现在，数学中有些部分确实并不是和计算有什么因缘。
也就因了这个缘故，我喜欢用“数学”这个词来译Mathematics，而不喜欢用“算学”。虽则“数”字也还不免有些语病，但似乎比“算”字来得轻些。
倘使我们再追寻一番，我们还可以发现博歇的定义也并不是“悬诸国门不能增损一字”的。不过这种功夫越来越细微，也不容易理解。而我这篇东西不过想给数学的一般读者一点数学的概念，所以不再往里面穷追了。
将这个定义来和罗素所下的比较，虽然已距离较近，但总还是旨趣悬殊。那么，罗素的定义果真只是开玩笑吗？
我是很愿意承受罗素的定义的，为了要将它说得明白些，也就是要将数学的定义——性质——说得明白些，我想这样说：
“数学只是一种符号的游戏。”
假如，有人觉得这样太轻佻了一点，严严正正的科学怎么好说它是“游戏”，那么，就这般说也可以：
“数学是使用符号来研究‘关系’的科学。”
对于数学这种东西，读者大都曾有过这样的疑问，这有什么意思呢？这有什么用呢？本来它不过给你知道一些关系，知道从某种关系推演出别的关系来；而关系的表出大部分又只靠着符号，这自然不能具体地给出什么用场和什么意义了。
为了解释明白上面提出的定义，我想从数学中举些例子来讲，更便当些。
劈头我们就看“一加二等于三”。
