对于这个题,表示甲走的行程和时间的线,自然谁都会画了。就是表示乙走的行程和时间的线,经过了马先生的指示,以及共同的讨论,知道:因为乙是在甲动身后三小时才动身,而得C点。又因为乙追了四小时半赶上甲,这时甲正走到E,而得E点,联结CE,就得所求的线。再看每小时,这条线所经过的横距离是五,所以知道乙每小时行五里。这真是马先生说的趣味横生了。
不但如此,图上明明白白地指示出来:甲七小时半走的路程是二十二里半,乙四小时半走的也正是这样多,所以很容易地使我们想出了这题的算法。
3里×(3+4.5)÷4.5=22.5里÷4.5=5里——乙每小时走的
但是马先生的主要目的还不在讨论这题的算法,当我们得到了解答和算法后,他又写出下面的例题。
例三:甲每小时行三里,动身后三小时,乙去追他,追到二十二里半的地方追上,求乙的速度。
跟着例二来解这个问题,真是十分轻松,不必费心思索,就知道应当这样算:
22.5里÷(7.5-3)=22.5里÷4.5=5里——乙每小时走的
原来,图是大家都懂得画了,而且一连这三个例题的图,简直就是一个,只是画的方法或说明不同。甲走了七小时半而比乙多走三小时,乙走了四小时半,而路程是二十二里半,上面的计算法,由图上看来,真是“了如指掌”呵!我今天才深深地感到对算学有这么浓厚的兴趣!
马先生在大家算完这题以后发挥他的议论。
“由这三个例子来看,一个图可以表示几个不同的题,只有着眼点和说明不同。这不是活鲜鲜地,很有趣味吗?原来例二、例三都是从例一转化来的,面孔虽然不同,根源的关系却没有两样。这类问题的骨干只是距离、时间、速度的关系,你们当然已经明白:
速度×时间=距离。
由此演化出来,便得:
速度=距离÷时间,
时间=距离÷速度。”
我们说:
“赵阿毛的儿子是赵小毛,老婆是赵大嫂子。
“赵大嫂子的老公是赵阿毛,儿子是赵小毛。
“赵小毛的妈妈是赵大嫂子,爸爸是赵阿毛。”
这三句话,表面自然不一样,立脚点也不同,文学上,所给我们的意味、语感也不同,但所表出的根本的关系却只一个,画个图便是:
照这种情形,将例一先分析一下,我们可以得出下面各元素以及元素间的关系:
1.甲每小时行三里。
2.甲先走三小时。
3.甲共走七小时半。
4.甲、乙都共走二十二里半。
5.乙每小时行五里。
6.乙共走四小时半。
7.甲每小时所行的里数(速度)乘以所走的时间,得甲走的距离。
8.乙每小时所行的里数(速度)乘以所走的时间,得乙走的距离。
9.甲、乙所走的总距离相等。
10.甲、乙每小时所行的里数相差二。
11.甲、乙所走的小时数相差三。
由1到6是这题所含的六个元素。一般地说,只要知道其中的三个,便可将其余的三个求出来。如例一,知道的是1、5、2,而求得的是6,但由2、6便可得3,由5、6就可得4。例二,知道的是1、2、6,而求得5,由2、6当然可得3,由6、5便得4。例三,知道的是1、2、4,而求得5,由1、4可得3,由5、4可得6。
不过有少数的例外,如1、3、4,因为4可以由1、3得出来,所以不能成一个题。2、3、6只有时间,而且由2、3就可得6,也不能成题。又4、5、6,由4、5可得6,一样地不能成题。
从六个元素中取出三个来做题目,照理可成二十个;除了上面所说的不能成题的三个,以及前面已举出的三个,还有十四个。这十四个的算法,当然很容易推知,而且画出图来和前三例的全然一样。为了便于比较研究,逐一写在后面。
例四:甲每小时行三里1,走了三小时,乙才动身2,他共走了七小时半3被乙赶上,求乙的速度。
3里×7.5÷(7.5-3)=5里——乙每小时所行的里数