第一就说数学归纳法的证明。
什么叫数学归纳法，在“堆罗汉”中已经说过，这里要证明的第一个公式，也是那篇里已证明过的。为了不曾看过那篇的人，只好简略地说一说。
所谓数学归纳法，一共含有三个步骤：
（Ⅰ）就几个特殊的数，发现一个共同的式子。
（Ⅱ）假定这式子对于n是对的，而造出一个公式来。
（Ⅲ）设n变成了n+1，看这式子的形式是否改变。若不曾改变，那么，这式子就成立了。
因为由（Ⅱ）和（Ⅲ）既知道这式子关于n是对的，关于n+1也就是对的。而由（Ⅰ）已知它关于几个特殊的数是对的——其实有一个就够了，不过（Ⅰ）只由一个特殊的数要发现较普遍的公式的形式比较困难——设若关于2是对的，那么关于2加1也是对的。2加1是3，关于3是对的，自然关于3加1也是对的。这样一步一步地往上推，关于4加1，5加1，6加1……就无往而不对了。
以下就用这方法来证明上面的公式：
王老头子的汤团的堆法，各层都是正方形，顶上一层是一个，第二层一边是二个，第三层一边是三个，第四层一边是四个……这样到第n层，一边便是n个。而正方形的面积，这是大家都已经知道的，等于一边的长的平方。所以若就各层的个数说，王老头子每夜所做的一盘汤团便是：
Sn=12+22+32+42+…+n2
第一步我们容易知道：
第二步，我们就假定这种式子，关于n是对的，而得公式：
这就到了第三步，这假定的公式对于n+1也对吗？我们在这假定的公式中，两边都加上（n+1）2这便是Sn+1，所以
这最后的形式和我们所假定的公式完全一样，所以我们的假定是对的。
这公式是用于正三角锥形的，所谓正三角锥形，顶上第一层是一个，第二层是一个加二个，第三层是一个加二个加三个，第四层是一个加二个加三个加四个……这样推下去到第n层便是：
1+2+3+4+…+n
而总和便是：
Sn=1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4）+…+（1+2+3+4+…+n）
第一步，我们找出，
第二步，我们就假定这式子关于n是对的，而得公式：
跟着进到第三步，证明这假定的公式对于n+1也是对的，就是在假定的公式中两边都加上1+2+3+4+…+n+（n+1）
这最后的形式，不是和我们所假定的公式的形式一样吗？可见得我们的假定是对的了。
第一步和证明前两个公式的，没有什么两样，我们无妨省事一点，将它略去，只来证明这公式对于n+1也是对的。这种堆法，第一层是p个，第二层是两个p+1个，第三层是三个p+2个……照样推上去，第n层是n个p+（n-1）个。所以，
Sn=p+2（p+1）+3（p+2）+…+n［p+（n-1）］
而Sn+1=p+2（p+1）+3（p+2）+…+（n+1）（p+n）
假定上面的公式关于n是对的，则
不用说，这最后的形式，和我们所假定的公式的，完全一样，我们所假定的公式便是对的。
我们也只来假定它关于n是对的而证明它关于n+1也是对的。这种堆法，顶上第一层是ab个，第二层是（a+1）（b+1）个，第三层是（a+2）（b+2）个……照样推上去，第n层便是［a+(n-1)］［b+(n-1)］个。所以：
Sn=ab+（a+1）（b+1）+（a+2）（b+2）+…+［a+（n-1）］［b+（n-1）］
而Sn+1=ab+（a+1）（b+1）+（a+2）（b+2）+…+［a+（n-1）］［b+（n-1）］+（a+n）（b+n）
假定上面的公式对于n是对的，则
在形式上，这最后的结果，和我们所假定的公式的，也没有什么分别，可知我们的假定一点儿不差。
