平均速度！平均速度！这平均速度，一开始不是就和它缠个不清吗？不是觉得对于真实的运动情形，它无论怎样总表示不出来吗？那么，我们为什么这里还要说到它呢？不过，这里所说的平均速度，因为时间和空间所取的数值都很小的缘故，很有点用场。要得出真的速度而非平均的，要那运动只是一刹那间的，而非延续在一个时间的间隔当中的，我们只需把?t无限制地减小下去就行了。
我们先记好了前面已经说过的连续函数的性质，因为在一刹那t运动的距离是d，在和t非常相近的时间，我们用t+?t来表示，那么，相应地就有一个距离d+?d和d也就非常相近。并且?t越减小，?d跟着也是越小下来。
结果，v便是在一刹那t，动点的速度。将上面的话联合起来，我们可以写成：
极限值v也有一个不大顺口的名字，叫作“空间d对于时间t的导数”。
有了这个名字，我们说起速度来就便当了。什么是速度？它就是“空间对于一瞬的时间的导数”。
我们又可以回到芝诺的“飞矢不动”的悖论去了。对于他的错误，在这里还能够加以一种说明。芝诺所用来解释他的悖论的方法，无论它怎样地巧妙，但是横在我们眼面前的事实，总叫我们不能相信飞矢是不动的。你总看过变戏法吧？你明知道，那些使你看了吃惊到目瞪口呆的玩意儿都是假的，但你总不能找出它们的漏洞来。我们若没有正确的理由来攻破芝诺的推论，那么，对于他这巧妙的悖论，也只好怀着一个看戏法时所有的吃惊的心情了。
现在，我们再用一种工具来攻打芝诺的推论。
古代的人并不比我们笨，速度的意义他们也懂得的，只可惜他们还有比我们不如的地方，那就是关于无限小的量的观念，他们却一点儿没有。他们以为“无限小”就是等于零，并没有什么特别。因为这个缘故，他们实在吃亏不小，像芝诺那般了不起的人物，在他的推论法中，这个当更特别上得厉害。
不是吗？芝诺他这样说：“在每一刹那，那矢是静止的。”我们无妨自己问问自己看，他的话果真合适吗？在每一刹那，那矢的位置是静止得和一个不动的东西一般的吗？
再举个例子来说，假如有两支同样的矢，其中有一支是用了比别一支快一倍的速度飞动的。在它们正飞着的当儿，照芝诺想来，每一刹那它们都是静止的，而且无论它是飞得快的一支或是慢的一支，两个的“静止情形”也没有一点区别。
在芝诺的脑子里面，快的一支和慢的一支的速度，在无论哪一刹那都是等于零。
但是，我们已经看明白了，想精密地把一个速度规定，必须要采用到些“无限小”的量，以及它们相互的关系。上面已讲起过，这种关系，老老实实地是可以有一个一定的极限的。而这个极限呢，又恰巧可以表出我们所设想的一刹那时间的速度。
所以，在我们的脑子里面，和芝诺就有点两样了！那两支矢在一刹那的时间，它们的速度并不等于零：每支都保持着它的速度，在同一刹那的时间，快的一支的速度总比慢的一支的大一倍。
把芝诺的思想，用了我们的话来说，就可以得到这样一个结论，他推证出来的好像是两个无限小的量，它们的关系是必须等于零的。对于无限小的时间，照他想来那相应的距离总是零，这你会觉得有点可笑了，是不是？但这也不能就怪到芝诺，在他活着的时候，什么极限呀、无限小呀，这些观念都还没有好好儿地规定清楚呢。速度这东西，我们把它当作是距离和时间的一种关系，所以在我们，那飞矢总是动的。说得明白点，就是：在每一刹那它总保牢一个并不等于零的速度。
好了！关于芝诺的话，就此停止吧！我们来说点别的！
你学过初等数学的，是不是？你还没有全都忘掉吧！在这里，就来举一个计算导数的例子怎样？先选一个极简单的运动法则，好，就用你的弟弟在大门外爬的那一个：
d=5t （1）
无论在哪一刹那t1的末了他所爬的距离总是：
d1=5t1 （2）
