现在还是来说关于运动的现象。有一条大路或是一条小槽，在那条路上面有一个轮子正转动着，或是在这小槽里边有一个小球正滚着。倘若我们想找出它们运动的法则，并且要计算出它们在进行中的速度，比前面的还要精密些的方法，究竟有没有呢？
将就以前说过的例子，本来也可以再讨论下去，不过为着简便起见，我们无妨将那个做例子的特别的情形放到一般的情况。用一条线表示路径，用些点来表示在这路上运动的东西。这么一来，我们所要研究的问题，就变成一个点在一条线上的运动的法则和这个点在进行中的速度了。
爽性更简单些，就用一条直线来表示路径：这一条直线从O点起，它无限地向着箭头所指示的方向延长出去。
在这条直线上，依着同一方向，有一点P连续地运动，它运动的起点也就是O。这一个尽管动得不停的P点，我们能够知道它在那直线上的位置吗？是的，只要我们知道在每个时间t，这个动着的P点间隔O点多远，那么，这位置也就能确定了。
和从前的例子一样，连续运动在空间的径路是时间的一个连续函数。
先假定这个函数是已经知道了的，不过这并不能就解决了我们所要讨论的问题。我们还不知道在这运动当中，P点的速度究竟是怎样，也不知道这速度有些什么变化。这样一把你提醒，你将要失望了，将要皱眉头了，是不是？
且慢慢地，你不用着急，我们请出一件法宝来帮助一下，这些问题就迎刃而解了！这是一件什么法宝呢？以后你就可以知道的，先只说它的名字叫着“导数法”。它真是一件法宝，它便是数学园地当中，挂有“微分法”这个匾额的那座亭台的基石。
“运动”本来不过是从时间和空间的关系的变化认识出来的。不是吗？你倘若老是把眼睛闭着，尽管你心里只是不耐烦，觉得时间真难熬，大有度日如年之感，但是一只花蝴蝶在你的面前蹁跹地飞着，上下左右地回旋，你哪会知道它在这么有兴致地动呢？原来，你闭了眼睛，你面前的空间有怎样的变化，你真是茫然了。同样地，倘使空间尽管有变化，但你根本就没有时间的感觉，你也没有法子理解“运动”是怎么一回事！
倘若对于测得的时间t的每一个数，或者说得更好一些，对于时间t的每一个数值，我们都能够计算出距离d的数值来，这就是某种情形当中的时间和空间的关系的变化已经被我们认识出来。那运动的法则，我们也就算得已经知道了！我们就说：
距离是时间的已知函数，简便一些，我们说d是t的已知函数，或者写成d=f（t）。
对于你的小弟弟在大门外地上爬的例子，这公式就变成了d=5t。另外随便举个例子，比如d=3t+5。这，我们就有了两个不相同的运动法则。假如时间用分计算，和距离用尺计算。在第一个式子，时间t若是10分钟，那么距离d就得50尺。但在第二个式子，d=3t+5所表示的运动的法则，10分钟的结末，那距离却是d=3×10+5，便是距出发点35尺。
来说计算速度的话吧！先须得注意，和以前说过的一样，要能计算无限小的变动的速度，换句话说，就是要计算任何刹那的速度。
为了表示一个数值是很小的，小得与众不同，我们就在它的前面写一个希腊字母?（delta），所以?t就是表示一个极小极小的时间间隔。在这个时间当中，一个运动的东西所经过的路程自然很短很短，我们就用?d表示。
现在我问你，那P点在时间?t的间隔中，它的平均速度是什么？你大约没有忘掉吧！运动的平均速度等于用这运动所经过的时间去除它所经过的距离。所以这里，你可以这样回答我：
这个回答一点没有错，虽然现在时间的间隔和空间的距离都是很小很小，但要求这个很小的时间当中，运动的平均速度，还是只有这么一个老法子。
