再请你回忆起平面几何上的一条定理来，那就是通过两个定点必能够画一条直线，而且也只能够画一条。所以，倘若你先在纸上画一条直线，只任意留下了两点，便将全线擦去，你若要再找出原来的那条直线，只需用你的尺子和铅笔将所留的两点连起来那就成了。你试试看，前后两条直线的位置有什么不同的地方没有？
前面说的只是点的位置，现在，我们更进一步来研究任意一段曲线，或是BC弧，我们也能够将它表示出来吗？
为了方便起见我和你先约束好：在水平线上从O起量出的距离我们用x代表，在垂直线上从O起量出的距离用y代表。这么一来，设若那段曲线上有一点P，从P向着OH和OV各画一条垂线，那么，无论P点在曲线上的什么地方，x和y都一定各有一个相应于这P点的位置的值。在BC一段曲线上，设想有一点P，从P向OH画一条垂线Pa，设若它和OH相交在a点；又从P向OV也画一条垂线Pb，设若它和OV相交在b点，Oa和Ob便是x和y相应于P点的值。你试在BC上另外取一点Q，依照这方法做起来，就可以看出x和y的值便不能同是Oa和Ob了。
接连在曲线BC上面，取一串的点，比如说是P1、P2、P3……从各点向OH和OV都画垂线，这就得出相应于P1、P2、P3……这些点的位置的x和y的值，x1、x2、x3……和y1、y2、y3……来。x的一串值x1、x2、x3……各都和y的一串值y1、y2、y3……中的一个相应。这些是你从图上一眼就会看得明白的。
倘若已将x和y的各自的一串值都画出，曲线BC的位置大体也就决定了。所以，实际上你若把P1、P2、P3……这一串点留着，而将曲线BC擦去，和前面画直线的一般，你就有方法能够再找出它来。因为x的每一个值，都相应于y的一串值中的一个，所以要决定曲线上的一点，我们就在OH上从O起取一段等于x的值，又在OV上从O起取一段等于相应于它的y的值。那么，这一点，就和前面的例子所说过的一般，便可完全决定。跟着，用同样的方法，将x的一串值和y的一串值都画出来，P1、P2、P3……这一串的点也就全然决定，曲线BC同样地也可将它决定了。
不过，这却要小心，前面我们说过，有了两点就可决定一条直线。在平面几何学上你还学过一条定理，有不在一条直线上的三点就可以决定一个圆周。但是一般的曲线，要有多少点才能将它决定，那是谁也回答不上来的，不是吗？曲线是弯来弯去的，没有画出来的时候哪个能完全明白它是怎样的弯法呢！所以，在实用上，真要由许多点来决定一条曲线，必须要画出很多的互相挨得很近的点，那条曲线才可以大体决定。并且这还须注意，无论怎样，倘然没有别的方法加以证明，你这样画出的总只是一条相近的曲线。
话说回头去，我们记好，以前所讲过的数学的函数的定义，把它来和这里所说的表示x和y的一串值的方法对照一番，这是有趣极了！我们既说，每一个x的值，都相应于y的一串值中的一个。那好，我们不是也就可以干干脆脆地说y是x的函数吗？要是掉过枪法，我们也就可以说x是y的函数。从这一点看起来，函数有些是可以用几何的方法表示的。
比如：y是x的函数，用几何的方法来表示就是这样：有一条曲线BC，又决定了x的大小，设若x等于Oa，我们实际上就可决定相当于它的y的值是Ob。
所以从解析数学这边看来，一个数学的函数是代表一条曲线的。但掉过头从几何那边看来，一条曲线就表示一个数学的函数。两边简直是合则双美的玩意儿。
要反过来说，也是非常容易的。假如有一个数学的函数：
y=f（x）
我们很能够给这函数一个几何的说明。
