将前节所讲过的方法拿来运用，再没有比求矩形的面积那么更简单的例子了。比如有一个矩形，它的长是a，宽是b，它的面积便是a和b的乘积，这在算术上就讲过。像图上所表示的，长是6，宽是3，面积就恰好是三六一十八个方块。
假如这矩形，有一边不是直线——那自然就不能再叫它是矩形——要求它的面积，也就不能照求矩形的面积的方法这般简单。那么，我们有什么法子呢？
假使我们所要求的是图中ABCD线所包围着的面积，我们知道AB、AD和DC的长，并且又知道表示BC曲线的函数（这样，我们就可知道BC曲线上各点到AB线的距离），我们用什么方法，可以求出ABCD的面积呢？
一眼看去，这问题好像非常困难，因为BC曲线那样的不规则，真是有点儿不容易对付。但是，你却不必着忙，只要应用我们前面已说过好几次的方法，就可以迎刃而解的。一起首，无妨先找它的近似值，再连续地使这近似值渐渐地增加它的近似的程度，直到我们得了精确的值为止。
这个方法，实在非常自然的。前面我们已讨论过无限小的量的计算法，又说过将一条线分了又分直分到无穷的方法，这些方法就可以供我们用来解决一些较复杂较困难的问题。先从粗疏的一步入手，渐渐往前进，便可达到精确的一步。
第一步，简直一点困难都没有，因为我们所要的只是一个大概的数目。
先把ABCD分成一些矩形，这些矩形的面积，我们自然已经会算了。
假如S的面积，差不多等于1、2、3、4四个矩形的和，我们就先来算这四个矩形的面积，用它各自的长去乘它各自的宽。
这样一来，我们第一步所可得到的近似值，便是这样：
不用说，从图上一看，就可知道，这样得出来的结果相差很远，S的面积实在要比这四个矩形的面积的和大得多：图中用了斜线画着的那四块，全都没有算在里面。
但是，这个误差，我们并不是没有一点儿法子补救的。先记好表示BC曲线的函数是已知道的，我们可以求出BC上面各点到直线AD的距离。反过来就是对于直线AD上的每一点，都可以找出它们和BC曲线的距离。假如我们把AD看作和以前各图中的水平线OH一样，AB就恰好相当于垂直线OV。在AD线上的点的值，我们就可说它是x，相应于这些点的到BC的距离便是y，所以AD上的一点P到A的距离实在是一个变数。现在我们说AD的距离是x，AD上面另外有一点P'，AP'的距离是x'，过P和P'都画一条垂直线同BC相交在p和p1。pP、p1P'就相应地表示函数在x和x'那两点的值y和y'。
结果，无论P和P'点在AP上什么地方，我们都可以将y和y'找出来，所以y是x的函数，可以写成：
y=f（x）
这个函数就是BC曲线所表示的。
现在，再来求面积S的值吧！将前面的四个矩形，再分成数目更多的较小的一些矩形。由图上就可看明白，那些从曲线上画出的和AD平行的短线都比较地挨近曲线；而斜纹所表示的部分也比上面的减小了。因此，用这些新的矩形的面积的和来表示所求的面积：
S=1+2+3+…+12
比前面所得的误差就小得多。
再把AD分成更小的线段，比如是Ax1、Ax2、Ax3……由各点到曲线BC的距离设为y1、y2、y3……这些矩形的面积就是y1×x1、y2×（x2-x1）、y3×（x3-x2）……而总共的面积就等于这些小面积的和，所以：
S（近似值）= y1×x1 + y2×（x2-x1）+ y3×（x3-x2）+……
若要想得出一个精确的结果呢，只需继续着再把AD分得段数一次比一次的多，每段的间隔一次比一次的短，每次都将各个小矩形的面积的和来表所求的面积。那么，S和这所得的近似值，它们的差，便越来越小了。
这样做下去，到了极限，就是说，小矩形的数目是无限地多，而它们每一个的面积，便是无限地小，这一群小矩形的和便是真实的面积S。
但是，所谓数目无限的，一些无限小的量的和，它的极限，照前节所讲过的，这就是积分。所以我们刚才所讲的例子，实在就是积分法的几何上的运用。
所求的面积S，就是x的函数y对x的积分。
换句话说，求一条曲线所切成的面积，必须计算那些连续的近似值，一直到极限，这就是所谓积分。
到这里，为了要说明白积分法的原理，我们已举了两个例子：第一个，是说明积分法就是微分法的还原；第二个，是表示出积分法在几何学上的意味。将这些范围和形式都不相同的问题的解决法，贯通起来，就可以明了积分法的意义，而且还可以扩张它的使用的范围。不是吗？我们讲导数的时候，也是一步一步地逐渐将它的意义弄明白，同时也就扩张了它的活动的领域；积分法既是它的还原法，自然也可以照样来一下的了。比如说，前面我们只是用它来计算面积，但如果我们要用它来计算体积，在原理上，也就全是一样。因为立方柱的体积我们早就知道它是等于它的长、宽、高相乘的积，假如我们所要求它的体积的那个东西，有一面是曲面，我们就可以先把它分成几部分，照求立方柱的体积的方法，将它们的体积计算出来，然后将这几个积加在一起，这就是第一次的近似值了。和前面一样地，我们可以再将各部分分小下去，求第二次、第三次……的近似值。这些近似值，因为越分项数越多，每项的值越小，所以近似的程度就渐次地加高，到了最后，项数增到无限多，每项的值变成了无限小，这些的和的极限，就是我们所求的体积，这种方法就是积分。
