在数学的园地中，微分法这一个院落从建筑起来的时候直到现在，它都在尽量地扩充它的地盘，充实它的内容，它真是与时俱进地，越来越繁荣。因了这样，它最初的基础虽很简单，现在，离开那初期的简单的模样，已不知有多远了。它从建始到现在已经是两世纪半，这二百五十来年当中，经过了不少的高明工匠的惨淡经营，便成了现在的蔚然大观。
由很多的数学家，逐渐逐渐地使它展开，一步一步地将它一般化，所谓无限小的计算，或叫作数学分析的这一支，就变成现在的情景：在数学中占了很广阔的地位，关于它的专门研究，以及一切的应用，也就不是一件容易弄清楚的事！
不过，再要进一步去看里面的“西洋景”，这倒很难。不客气点说，还要和以前一般，离开了许多数学的符号，而想讲明白它，那简直是不可能的。因此，只好对不起，关于无限小的计算，我们所可以这般常识地讲一点大意的，也就快收场了。但请你还不要就失望，下面所讲到的，也还是一样地重要。
从我们以前所讲过许多次数的例子看起来，所有关于运动的问题，都要用到微分法。因为一个关于运动的问题，它所包含着的，无论已知或未知的条件，总不外是：延续在某一定时间当中的空间的路程、它的速度和它的加速度，而这三个量又恰好由运动的法则和这个法则的导数可以表明。
所以，知道了运动的法则，就可以求出合于这法则的速度以及加速度。现在假如我们知道一些速度以及一些加速度，并且还知道要适合于它们所必需的一些不同的条件，那么，要表明这运动，就只差找出它的运动法则了。
单只空空洞洞地说，总是不中用的，仍然归到切实一点的地步吧。关于速度和加速度，它们彼此中间有什么条件，在数学上都是用方程式来表示，不过这种方程式和代数上所讲的普通方程式有些两样罢了。最大的不同，就是它里面包含着导数这个宝贝。因此，为了和一般的方程式划分门户，我们就喊它是微分方程式。
在代数中，我们有了一个方程式，是要去找出适合于这方程式的数值来，这个数值我们叫它是这方程式的根。
和这个情形相类的，有了一个微分方程式，我们是要去找出一个适合于它的函数来。这里所谓的“适合”是什么意思呢？明白点说，就是比如我们找出了一个函数，将它的导数的值，代进原来的微分方程式，这方程式还能成立，那就叫作适合于这个方程式。而这个被找了出来的函数，便称为这个微分方程式的积分。
代数里从一个方程式去求它的根叫作解方程式，对于微分方程式要找适合于它的函数，我们就说是将这微分方程式来积分。
还是来举一个顶顶简单的例子。
比如有一点，它是在直线上运动着的，它的加速度总是一个常数，这个运动的法则怎样呢？
在这个题目里，假设用y"表示运动的加速度，c代表一个老是不变的常数，那么我们就可以得到一个简单的微分方程式：
y"=c
你记得清楚加速度就是函数的二阶导数，所以现在的问题，就是要找出一个函数来，它的二阶导数恰好是c。
这里的问题，自然是天字第一号容易的，前面已经说过，一种均齐变化的运动的加速度是一个常数，但是若由数字上来找这个运动的法则，那就必须要将上面的微分方程式积分。
第一次，我们将它积分得：（设变数是t）
y'=ct
你要问这个式子怎样来的吗？我却不再说了，你看以前的例子y"=c，是从一个什么式子微分来的，就可以知道。
不过在这里有个小小的问题，照以前所讲过的导数法算来，下面的两个式子都可以得出同样的结果y"=c，
y'=ct
y'=ct+a（a也是一个常数）
这两个式子恰好差了一项（一个常数），我们总是用第二个，而把第一个当成一种特殊情形（就是第二式中的a等于零的结果）。那么，a究竟是什么数呢？朋友！对不起，“有人来问我，连我也不知”，我只晓得它是一个常数。
无限小的计算，虽则我们所举过的例子都只是关于运动的，但物理的现象实在是以运动的研究做基础，所以很多的物理现象，我们要去研究它们，要去发现它们的法则，以及将这些法则表示出来，都离不了这无限小的计算。实际上，除了物理学外，别的科学用到它的地方也非常广阔，天文、化学，这些不用说了，就是生物学和许多社会科学，也要倚赖着它。实际，现在要想走进学术的园地去，恐怕除了作“月姐姐花妹妹”的诗，写“我爱你，你不爱我”的小说，和它不接触的机会总是很少的。
