我们在前面差级数三角形的顶上加一串数v1、v2、v3、…、vn、vn+1，不过并不是胡乱写些数，要它们每两项的差，就是u1、u2、u3、…、un。这样一来，它们便是n+1次差级数，而第一次的差为，
v2-v1=u1，v3-v2=u2，v4-v3=u3，…，vn-vn-1=un-1，vn+1-vn=un
若是我们惠而不费地将vn+1点缀得堂皇富丽些，无妨将它写成下面的样儿，
vn+1=vn+1-vn+vn-vn-1+…+v2-v1+v1
=（vn+1-vn）+（vn-vn-1）+…+（v2-v1）+v1
假使造这串数的时候，取巧一点，v1就用0，那么，便得：
vn+1=（vn+1-vn）+（vn-vn-1）+…+（v2-v1）
=un+un-1+…+u1
所以若用求一般项的公式来找vn+1得出来的便是u1+u2+u3+…+un的和。但就公式说，这个差级数中，v1=0，Δv1=u1，Δ2v1=Δu1，…，Δnv1=Δn-1u1，
这个戏法总算没有变差，由此我们就知道：
假如照用惯了的算术级数的样儿将a代第一项，d代差，并且不用组合所用的符号，那么n次差级数n项的和便是：
有了这公式，我们就回头去处分王老头子的那一盘汤团，它是一个二次差级数，对于这公式说：a=1，d1=3，d2=2，d3=d4=…=0
在第二种三角锥的堆法，前面也已说过，仍是一个二次差级数，对于这公式，a=1，d1=2，d2=1，d3=d4=…=0。
至于第三种堆法，它各层的个数，及各次的差是，
p，2（p+1），3（p+2），4（p+3），……
p+2，p+4，p+6，……
2，2，………………
也是一个二次差级数，u1=p，d1=p+2，d2=2，d3=d4=…=0
末了，再把这个公式运用到第四种堆法。它的每层的个数以及各次的差是这样的：
所以也是一个二次差级数，就公式说，u1=ab，Δu1=（a+b）+1，Δu2=2，Δu3=Δu4=…=0
用差级数的一般的求和的公式，将我们开首就提出的四个公式都证明了。这种证明真可以当得起无疵可指，就是连最后分母中那事实上无关痛痒的1×2×3中的1也给了它一个来去分明。这种证法，不但有这一点点子好处，由上面的经过看来，我们所提出的四个公式，全都是这差级数求和的公式的运用。因此只要我们已彻底地了解了它，这四个公式就不值一顾了，数学的理论的发展，永远是霸道横行，后来居上的。
