8+1=9，……
由这个作法，我们很容易知道它所包含的意味。就竖行说（自然横排也一样），从左起，第一行是相等的差，第二行是一次差级数，每两项的差都是1。第三行是二次差级数，因为第一次的差就是第一行的各数。第四行是三次差级数，因为第一次的差就是第三行的各数，而第二次的差就是第二行的各数。同样地，第五行是四次差级数，第六行是五次差级数……
这种玩意的性质，帕斯卡很有不少的研究，他曾用这个算术三角形讨论组合，又用它发现许多关于概率的有趣味的东西。
上面已经说过了，王老头子的一盘汤团，各层正好成一个二次差级数，倘若我们能够知道计算一般差级数的和的公式，岂不是大大便宜了吗？
对，我们就来讲这个，让我们偷学帕斯卡来作一个一般差级数的三角形。
差，在英文是difference，和用S代Sum一般，如法炮制就用d代difference。本来是已够了，然而我们还可以更别致一些，用个相当于d的希腊字母Δ来代。设差级数的一串数为u1、u2、u3……第一次的差为Δu1、Δu2、Δu3……第二次的差为Δ2u1、Δ2u2、Δ2u3……第三次的差为Δ3u1、Δ3u2、Δ3u3……这样一来，就得下面的三角形。
这个三角形的构成，实际上说，非常简单，下一排的数，总是它上一排的左右两个数的差，即：
Δu1=u2-u1，Δu2=u3-u2，Δu3=u4-u3，……
Δ2u1=Δu2-Δu1，Δ2u2=Δu3-Δu2，Δ2u3=Δu4-Δu3，……
Δ3u1=Δ2u2-Δ2u1，Δ3u2=Δ2u3-Δ2u2，Δ3u3=Δ2u4-Δ2u3，……
加法原可说是减法的还原，因此由上面的关系，便可得出：
u2=u1+Δu1（1）
Δu2=Δu1+Δ2u1，u3=u2+Δu2
∴u3=（u1+Δu1）+（Δu1+Δ2u1）=u1+2Δu1+Δ2u1（2）
照样地，第二排当作第一排，第三排当作第二排，便可得：
Δu3=Δu1+2Δ2u1+Δ3u1
u4=u3+Δu3=（u1+2Δu1+Δ2u1）+（Δu1+2Δ2u1+Δ3u1）
=u1+3Δu1+3Δ2u1+Δ3u1（3）
把（1）（2）（3）三个式子一比较，右边各项的数系数是1，1；1，2，1；1，3，3，1。这恰好相当于二项式a+b=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，各展开式中各项的系数。依了这个事实，照数学归纳法的步骤，我们无妨走进第二步，假定推到一般去，而得出：
照前面的样，把第n+1排作第一排，第n+2排作第二排，便可得：
将这两个式子相加，很巧地就得：
………………………………………………
这不是已将数学归纳法的三步走完了吗？可见得我们假定对于n的公式若是对的，那么，它于n+1也是对的。而事实上它对于1、2、3、4等都是对的，可见得它对于6、7、8……也是对的，所以推到一般都是对的。倘若你还记得我们讲组合——见《棕榄谜》——时所用的符号，那么就可将这公式写得更简明一点：
这个式子所表示的是什么，你可知道？它就是用差级数的第一项和各次差的第一项，表出这差级数的一般项。假如王老头子的那一盘汤团一共堆了十层，因为，这差级数的第一项u1是1，第一次差的第一项Δu1是3，第二次差的第一项Δ2u1是2，第三次以后的Δ3u1，Δ4u1都是0，所以第十层的汤团的个数便是：
这个得数谁也用不到怀疑，王老头子的那盘汤团的第十层，正是每边十个的正方形，一共恰好不折不扣的一百个。
我们要求的原是计算差级数和的公式，现在跑这野马干什么？
别着急！朋友！就来了！再弄一个小小儿的戏法，包管你心满意足。
