前一种的证明法，自然比较地来得有根底，不像用数学归纳法那样地突然。但还有一点，不能使我们满意，不是吗？每个式子的分母都是1×2×3，就前面的证明中看来，明明只应当是2×3，为什么要写成1×2×3呢？这一点，若再用别一种方法来寻求这些公式，那就可以恍然了。
这一种方法可以叫它作差级数法。所谓拟形级数，不过是差级数法的特别情形。
怎样叫差级数？算术级数就是差级数中最简单的一种，例如1、3、5、7、9……这是一个算术级数，因为
3-1=5-3=7-5=9-7=……=2
但是，王老头子的汤团的堆法，从顶上一层起，顺次是1、4、9、16、25……各各两项的差是：
4-1=3，9-4=5，16-9=7，25-16=9……
这些差全不相等，所以不能算是算术级数，但是这些差，3、5、7、9……的每两项的差却都是2。
再如第二种三角锥的堆法，从顶上起，各层的个数依次是1、3、6、10、15，各各两项的差是，
3-1=2，6-3=3，10-6=4，15-10=5……
这些差也全不相等，所以不是算术级数，不过它和前一种一样，这些差数依次两个的差是相等的，都是1。
我们来另找个例子，如13、23、33、43、53、63……这些数实行乘出来便是1、8、27、64、125、216……而，
（Ⅰ）
8-1=7，27-8=19，64-27=37，125-64=61，216-125=91……
（Ⅱ）
19-7=12，37-19=18，61-37=24，91-61=30……
（Ⅲ）
18-12=6，24-18=6，30-24=6……
这是到第三次的差才相等的。
再来一个例子，如2、20、90、272、650、1332……
（Ⅰ）
20-2=18，90-20=70，272-90=182，650-272=378，
1332-650=682……
（Ⅱ）
70-18=52，182-70=112，378-182=196，682-378=304……
（Ⅲ）
112-52=60，196-112=84，304-196=108……
（Ⅳ）
84-60=24，108-84=24……
这是到第四次的差才相等的。
像这些例子一般的一串数，照上面的方法一次一次地减下去，终究有一次的差是相等的，这一串数就称它们为差级数，第一次的差相等的叫一次差级数，第二次的差相等的叫二次差级数，第三次的差相等的叫三次差级数，第四次的差相等的叫四次差级数……第r次的差相等的叫r次差级数。算术级数就是一次差级数，王老头子的一盘汤团，各层就成一个二次差级数。
所谓拟形数就是差级数中的特殊的一种，它们相等的差总是1。这是一件很有趣味的东西。法国的大数学家帕斯卡在他1665年发表的《算术三角形》中，就说得有这种级数的作法，他作了如后的一个三角形。
这个三角形仔细玩赏一下，趣味非常丰富。它对于从左上向右下的这条对角线是对称的，所以横着一排一排地看，和竖着一行一行地看，全是一样。
它的作法是：（Ⅰ）横、竖各写同数的1。（Ⅱ）将同行的上一数和同排的左一数相加，便得本数。即
1+1=2，1+2=3，1+3=4，……
2+1=3，3+3=6，……
3+1=4，6+4=10，……
4+1=5，10+5=15，……
5+1=6，15+6=21，……
6+1=7，21+7=28，……
7+1=8，28+8=36，……
