（1）四则中数字计算问题：例如“有二位数，个位数字同十位数字的和是六，若从这数减十八，所得的数，恰是把原数的个位数字同十位数字对调成的，求原数”。
解这一种题目的基本原理有两个：
（a）两位数和它的两数字对调后所成的数的和，等于它的两数字和的“11”倍。如83加38得121，便是它的两数字8同3的和11的“11”倍。
（b）两位数和它的两数字对调后所成的数的差，等于它的两数字差的“9”倍。如83减去38得45，便是它的两数字8同3的差5的“9”倍。
运用这第二个原理到上面所举的例题。因为从原数减18所得的数恰是把原数的个位数字同十位数字对调成的，可知原数和两数字对调后所成的数的差为18，而原数的两数字的差为18÷9=2。题上又说原数的两数字的和为6，应用和差算的法则便得：
（6+2）÷2=4……十位数字，（6-2）÷2=2……个位数字，而原数为42。
解这类题目的两个基本原理，是怎样来的呢？现在我们试来考察一下。
（a）83=8×10+3，38=3×10+8
∴83+38=（8×10+3）+（3×10+8）
=8×10+8+3×10+3
=8×（10+1）+3×（10+1）
=8×11+3×11
=（8+3）×11
这式子最后的一段中，8+3正是83的两数字的和，用11去乘它，便得出“11”倍来，但这11是从10加1来的，10是十进记数法的底数。
（b）83-38=（8×10+3）-（3×10+8）
=8×10-8-3×10+3
=8×（10-1）-3×（10-1）
=8×9-3×9
=（8-3）×9
这式子最后的一段中，8-3正是83的两数字的差，用9去乘它，便得出“9”倍来。但这9是从10减去1来的，10是十进记数法的底数。
将上面的证明法，推到一般去，设记数法的底数为r，十位数字为a1，个位数字为a2，则这两位数为a1r+a2，而它的两位数字对调后所成的数为a2r+a1。所以
（a）（a1r+a2）+（a2r+a1）=a1r+a1+a2r+a2
=a1（r+1）+a2（r+1）
=（a1+a2）（r+1）
（b）（a1r+a2）-（a2r+a1）=a1r+a2-a2r-a1
=a1r-a1-a2r+a2
=a1（r-1）-a2（r-1）
=（a1-a2）（r-1）
第一原理（a）应当这样说：
两位数和它的两数字对调后所成的数的和，等于它的两数字和的r+1倍。r是记数法的底数，在十进法为10，故r+1为“11”；在十二进法为12，故r+1为13（照十进法说的），在十二进位法便也是11（一什一）。
第二原理（b）应当这样说：
两位数和它的两数字对调后所成的数的差等于它的两数字差的r-1倍，在十进法为“9”，在十二进法为“e”。
由这样看来，前面所举的例题，在十二进法中是不能成立的，因为在十二进法中，42减去24所剩的是1t而不是18，若照原题的形式改成十二进法的，那应当是：
“有二位数，……若从这数减什梯（1t）……”
它的计算法就完全一样，不过得出来的42是十二进法的四什二而不是十进法的四十二。
（2）关于整数的倍数的性质，且就十进法和十二进法两种对照着举几条如下：
（a）十进法——5的倍数末位是5或0。
十二进法——6的倍数末位是6或0。
（b）十进法——9的倍数各数字的和是9的倍数。
十二进法——e的倍数各数字的和是e的倍数。
