2、5、8、11、…、 2+3（n-1）……
1、4、9、16、… 、n2……
这些都是E的子集，我们用Pn来代表它们。
第一步，凡是用E的元素所能够做成的子集，我们都将它们做尽。
第二步，我们就来做一个新的集合C，C的每一个元素原都是E的一个子集Pn，而且所有E的子集全都包含在里面。这样一来，C便成了E的一切子集的集合。
你把上面的条件记清楚，我们已来到要证明的重要地步了。我们要证明C的次数就比第一个集合E的高。为了这样，我们还重复说一次比较两个集合的法则，你务必也要将它记好。
我们必须要对于E的每一个元素都能从C的当中取一个出来和它成对。实际上只要依下面的方法配合就够了：
从这样的配合法，因为第二行实在只用到C元素的一部分，这是很容易知道明白的C的次数或是比E的高或是和E的相等。
我们能不能够转过头来，对于C当中的每一个元素都从E当中取出一个和它成对呢？
假如能够做得到，那么E和C的次数是相等的。
假如不能够，那么C的次数就高于E的。
我们无妨就假定能够做得到，看会碰钉子不会！
算这种配合法是可以有的，我们就随便一对一对地将它们配合起来，写成下面的样子：
P1、P2、P3、…、Pn……（C）
1、2、3、…、n……（E）
单就这两行看，第一行是所有的子集，就是所有C的元素，都来了（因为我们是要这样做的）；第二行我们却说不定，也许是一切的整数都有，也许只有一部分。因为我们是对了第一行的元素取出来的，究竟取完了没有还说不定。
这回，我们来一对一地检查一下看，先从P1和它的对儿1来起。因为P1是E的子集，所以包含的是一些整数，现在P1和1的关系就可以有两种：一种是P1里面有1，一种是P1里面没有1。假如P1里面没有1的，我们将它放在一边。跟了来看P2和2这一对，假如P2里就有2，我们就把它留着。照这样子一直检查下去，把所有的Pn都检查完，凡是遇见整数n不在它的对儿当中的，都放在一边。
这些检查后另外放在一边的整数，我们又可做成功一个整数的集合。朋友！这点你却要注意，一点马虎不得了！我们检查的时候，有些整数因为它的对儿里面已有了，它所以没有放出来。由此可以见得我们新做成的整数集合不过包含整数的一部分，所以它也是E的子集。但是我们前面说过，C的元素是E的子集，而且所有E的子集全部包含在C的里面了，所以这个新的子集也应当是C的一个元素。用Pt来代表这个新的集合，Pt就应当是第一行Pn当中的一个，因为第一行是所有的元素都排在那儿的。
既然Pt已经应当站在第一行里了，就应当有一个整数或是说E的一个元素来和它成对。
假定和Pt成对的整数是t。
朋友！糟了！这就碰钉子了！你若还要硬撑场面，那么再做下去。
在这里我们又有两种可能的情况：
第一种：t是Pt的一部分，但是这却真碰钉子了。Pt所包含的元素是在第一行中成对儿的元素所不包含在里面的整数，而Pt自己就是第一行的一个元素，这不是矛盾了吗？所以t不应当是Pt的一部分，这就到了下面的情况。
第二种：t不是Pt的一部分，这可能把钉子避开吗？不行，不行，还是不行。Pt自己是第一行的一个元素，t和它相对又不包含在它的里面，我们检查的时候，就把它放在一边了。朋友，你看，这够多么糟。t既被我们检查的时候放在一边，而Pt就是这些被放在一边的整数的集合，结果t就应当是Pt的一部分。
这够多么糟！照第一种说法，t是Pt的一部分，不行；照第二种说法t不是Pt的一部分也不行。说去说来都不行，只好回头了。在E的元素当中，就没有和C的元素Pt成对的。朋友，你还得注意，我们将两行的元素配对，原来是随意的，所以要是不承认E的元素里面没有和Pt配对的，这种钉子，无论我们怎样都得碰。
