它的用场吗？真是大极了！我们就要用它去窥探那我们所难理解的“无限”。其实，你会起那样的疑问，实在由于你太认真而又太不认真的缘故。你为什么把“袁头”“八开”“铜子”“男”“女”“学生”“教师”的分别看得那般重大呢？你为什么不从根本上去想一想，“数”本来只是一个抽象的概念呢？我们只管到这抽象的数的概念的时候，你的衣袋里的东西的集合和你教室里的人的集合，不是一样的吗？假如你的衣袋的钱，你并不是预备拿去买什么吃食的，你只用它来记一个于你关系很重要的数，那么，它不是很够资格了吗？“二十”这个数就是含有二十个元素而不管它们的性质，所得出来的“集合”。
数的发生可以说是由于比较，所以我们就来说“集合”的比较法。比如有两个集合在这里，一个含有十五个元素，我们用个符号表示它，E15，另外一个含有十个元素，用符号表示它就是E10。
现在来比较这两个“集合”，对于E10当中的各个元素，都从E15当中取一个来和它成对，这是可以做得到的，是不是？但是，假如要掉一个头，对于E15当中的各个元素都从E10当中取一个来和它成对，做到第十对，就做不下去，只好停止了。可见得，掉一个头是不可能的，在这种情形的时候，我们就说：“E15超过E10。”或是说：“E15包含E10。”或者更说得文气一些：“E15的次数高于E10的。”
假如另外有两个集合Ea和Eb，我们虽然“不知道a是什么”，也“不知道b是什么”，但是我们不单只能够对于Eb当中的每一个元素，都从Ea中取一个来和它成对，而且还能够对于Ea当中的每一个元素都从Eb中取一个来和它成对。我们就说，这两个集合的次数是一样，它们所含的元素的数相同，也就是a等于b。前面不是说过你衣袋里的钱的集合和你课堂里的人的集合一样吗？你可以从衣袋里将钱拿出来，每人都给他一个。反过来，每个钱也能够都不落空被一个人拿了去。这就可以说这两个集合一样，也就是你的钱的数目和你课堂里的人的数目相等了。
我想来，你看了这几段一定会笑得换不过气的，这样简单明了的东西，还值得这么当成一回事地说吗？不错，E15超过E10，E20和E20一样，三岁大的小孩子也就知道的。但是，朋友！你别忙啦！这只是用来做例子，说明白我们的比较法。因为数目简单，两个集合所含元素的数，你通都知道了，所以觉得很容易。但是这个比较法，就是对于不能够知道它所含的元素的数的也可以使用。我再来举几个通常的例子，然后回到数学的本身上去。
你在学校里，口上总常讲“师生”两个字，耳朵里不用说也常听得到。“师”的集合和“生”的集合，（不只就一个学校说）就不一样，究竟合古今中外数起来，“师”的“集合”和“生”的“集合”是什么，没有哪一个人回答得出来。然而我们却可以想得到，每一个“师”都给他一个“生”要他完全负责任这是可能的；但若要每一个“生”都替他找一个专一只对他负责任的“师”那就不可能了。所以这两个集合不一样，实在我们就可以说“生”的集合的次数高于“师”的集合的。再要举例，比如父和子，比如长兄和弟弟，又比如伟人和丘八[19]，这些两个两个的集合都不一样。要找一个集合相等的例子吗，那就是夫妻俩，虽然我们并不知道全世界有多少个丈夫和多少个妻子，但有资格被称为丈夫的总必须有一个妻子伴着他（小老婆我们在这里不算她和男子是夫妻关系），反过来，有资格被人称为妻子的，也必有一个丈夫伴着她。所以无论从哪一边说，“一对一”的关系都能成立。
好了！来说数学上的话，来讲关于“无限”的话。
我们来想象一个集合，含有无限个元素的，比如正整数的集合：
1、2、3、4、5、… 、n、（n+1）……
