下面，我们来分析一下赛马的例子。在赛马的赌资总额中，只有75%用作奖金分配给投注的人，剩余的25%则被提留作为主办方的收益和税金。关于这一点，如果不考虑赛马的娱乐属性，就相当于人们投注了100亿日元，其中只有75亿日元是返还给投注者的，剩余的25亿日元则要上缴给主办方和国家。然而，从期望效用的角度来看，人们能从赌马中感受到平时无法体验的愉悦感。
这是非常不可思议的事情。通过博彩从人们手里吸纳资金，借此给人们带去快乐，并且主办方和国家还能从中获得收益，听起来似乎是不合情理的。
之所以会出现这种情况，是因为向投注者重新分配奖金时存在变动性。开奖之后，有些人能拿到多于本金数倍的奖金，而有些人则会赔得血本无归，这种针对投注者重新分配奖金的“变动性”是非常重要的。如果“赌马的人投注100日元后，注定只能返还75日元”，那么在这种机制下，肯定没有人愿意投注了。
所谓“博彩”，就是利用人们这种性格特点“无中生有”的一种机制。因此，从古至今，博彩行业一直是国家严格管控的对象。
但是，通过博彩缴纳的税金，可以用于公益事业。在这一点上，对于整个社会而言，博彩也不是没有任何好处的。甚至有人认为，博彩是利用人们的心理偏差，创造社会福利的一种有效方法。
当然，如果陷入不加限制地过度追求博彩的误区，就会给人们带来致命的伤害，甚至导致整个社会走向混乱。正因为博彩具有强大的破坏性，所以我们不能放任不管，任其自由发展，这种倾向是极为危险的。但是，如果能够扬长避短，充分发挥博彩的积极特性，就可以“无中生有”，为整个社会的平安富庶做出贡献。
运用理论解释人们无法理解的行为
继帕斯卡之后，还有一系列运用期望效用解决问题的实例。其中最为著名的就是上文所述的伯努利对圣彼得堡悖论的论证和阐释。
进入20世纪之后，在进一步深化期望效用理论研究方面，出现了两个发展方向：一个是第三章中介绍的数学家冯·诺依曼和经济学家奥斯卡·摩根斯特恩的博弈论；另一个是第二章和第四章中介绍的沙万奇的主观概率理论。
这两项不同的研究从相同的理念出发，试图说明期望效用的合理性，也就是证明了下述观点的正确性：只要从某个个体中观察到的行为符合某项特定准则（又被称为公理）的规定，就说明该个体的行为与期望效用是一致的。在这两种研究中，无论哪个理论都有一个共同的特征：从个人的行动样式中抽象概括出存在于个人内心的效用（快乐或者感觉偏差）。
在冯·诺依曼和奥斯卡·摩根斯特恩正式提出期望效用的时候，人们普遍认为概率是客观的事物。但是，此后荣获诺贝尔经济学奖的以色列数学家、经济学家罗伯特·奥曼[4]和出生于英国、活跃于美国的统计学家弗兰克·安斯库姆，运用期望效用的方法成功证明了主观概率的存在，并对其进行了定义。与沙万奇提出的极为复杂的公理系统相比，奥曼和安斯库姆的公理系统非常简单，具有明显的优势。
下面，我将介绍一个安斯库姆和奥曼提出的公理，以供大家参考。它被称为“独立性公理”：如果与彩票甲相比，你更偏好彩票乙，那么在彩票甲中按照一定比率混入彩票丙后形成彩票甲A，在彩票乙中按照相同的比率混入彩票丙后形成彩票乙A，在对彩票甲A和彩票乙A进行比较时，你会发现自己仍然更偏好彩票乙A。
这种期望效用理论在说明人们无法解释的行为方面发挥了重大的作用。它可以完美地解释为什么在依据期望值判断绝对不利的情况下，人们仍然要去买彩票。此外，在金融资产交易的背景下，这也可以说明个体之间是存在效用差异的。
