由于整个博彩游戏的奖金期望值等于每一个结果的概率与每一个结果的奖金之积相加，为了直观体现结果，我对其进行了列表对比。结果一目了然，无论掷多少次，期望值都是1日元。这是因为随着投掷次数的增多，以后的结果虽然概率很小，但是其对应的奖值越来越大。因此，所有投掷次数的期望值之和，也就是整个博彩游戏的奖金期望值，就会趋近于无穷大。也就是说，这种赌博的奖金期望值是无穷大的。这就推导出一个结论，就算投注费达到1亿日元，甚至1万亿日元，你都应该去赌一下。
伯努利认为这种结论是一种悖论。这是因为在现实生活中，无论什么人都不会去付出高到离谱的投注费。
也就是说，期望值的不合理之处体现在两个方面：一方面“即使大家都知道博彩经营者会抽取佣金，导致彩票奖金的期望值变为负值，还是有人会沉迷其中，不能自拔”；另一方面，圣彼得堡悖论从完全相反的角度出发，证明了人们并非按照期望值标准决策的。这是因为悖论揭示了一个事实：虽然从期望值角度来看以这样的方式博彩是一种绝对有利的选择，但实际上人们还是不想以过高的投注费去参与博彩的。
根据这一悖论，伯努利提出了一个疑问：期望值究竟是否适用于衡量博彩行为？
为什么人们会热衷于参加“稳赔不赚”的博彩呢？
人们为什么会违背期望值标准行动呢？
伯努利认为这是由于人们存在某种“感觉偏差”。
这可能是由于两种偏差导致的。一是对概率本身的感觉偏差。也就是说，人们可能没有接受用概率理解事情发生难易程度的理念。比如，从数值来看，与1/512的概率相比，1/1024的概率只有一半。但是，在实际生活中，人们不知道如何从直观感觉上准确把握这个“一半”的概念。二是对奖金金额的感觉偏差。也就是说，可能人们并没有将奖金的数值理解为账面价值。当奖金金额从1024日元增加到2048日元时，人们并不仅仅认为只是数值增加了“一倍”，还存在其他感觉。
但是，实际上，这两种偏差是不可分割的。这是因为期望值=概率×奖金金额，这里面既涉及概率，也涉及奖金金额。因此，正如圣彼得堡悖论所表述的那样，当出现期望值被低估的情况时，不管是由于低估概率的偏差导致的，还是由于低估奖金金额的偏差导致的，结果都是相同的。
因此，伯努利认为，为了解决悖论问题，应该站在上文所述的第二个立场，也就是，“低估奖金金额”的感觉偏差上来思考问题。当然，从低估概率的立场出发，道理上也可以解释得通。但是，作为一名数学家，伯努利显然不愿意触碰“概率”这一数学范畴概念的感觉偏差。相比之下，他更愿意研究“金额”这一日常概念的感觉偏差。这样一来，他所面临的思想斗争带来的压力也就变得更小了。实际上，在20世纪末，数学界也对概率的感觉偏差开展了研究。
伯努利认为“人们并不是基于奖金金额，而是以奖金带来的‘愉悦感’为准则进行决策的”，并按照下述方式给出了自己的解释。
将人们赢得奖金金额的“位数”设定为中奖时的“愉悦感”，并将其作为判断期望值的标准。比如，当奖金金额为两位数时，无论是20日元，还是87日元，感受到的“愉悦感”都只有“2”（关于详细计算方法，针对奖金金额x，应取log10x作为评估“愉悦感”的标准。但是，为了便于说明，特做上述设置）。
在这种情况下，可以参照表5-2，计算“奖金带来的愉悦感”，而不是奖金金额的期望值。
表5-2 掷硬币奖金带来的愉悦感
在这种计算方式下，总的愉悦感不再趋近于无穷大了，而是有限的（约等于2）。这样一来，也可以找到更好地解释圣彼得堡悖论中提到的人们不想以过高的投注金额参与博彩的理由。
源于“意识偏差”的期望效用
