当然，问题并没有全部解决。当面临不同的微积分问题时，倾向于不同的研究方法的现象依然存在。这突出地表现在牛顿和莱布尼茨登场以前的两个重要数学家J.沃利斯（JohnWallis）和伊萨克·巴罗（IssacBarrow）身上。其中，沃利斯可能对西蒙·史蒂汶的算术极限方法极为熟悉，他企图使算术完全脱离几何表示。[136]他的《关于圆锥曲线论》和《无限算术或曲边形求积方法的研究》主要是从算术着手的。在《无限算术》中，沃利斯肯定这种算术法则对所有乘幂（包括有理的或无理的，当然-1除外）都成立。从数学方法的角度来看，这项工作不仅成为沃利斯所称的插值法和归纳法的基础[137]，也使沃利斯能够从有限中得出无限的性质的类推，并求出面积和体积作为无穷数列的极限。所有这一切，对于进一步打破毕达哥拉斯几何所产生的顽固的观点，展现微积分的算法特点，是有帮助的。然而，沃利斯的算术化倾向为同时代的数学家伊萨克·巴罗所批评。巴罗认为，算术、代数是包含于几何当中的。他倾向于费马的新分析学和卡瓦列里的模糊的不可分量，并用综合的形式叙述了一个求切线与面积的新方法。该方法比之于费马的方法更近似于求导数的运算，其所作图形对莱布尼茨微积分中为人熟知的微分三角形的形成起到了重要的作用。不过，由于巴罗没有对他的这些思想用函数和连续变量的符号来表达，他不可能像沃利斯那样形成明确的极限概念，也不可能用解析方法表示他已经初步发现的求导数和求积分之间的互逆关系。幸运的是，他的这些不足并未被他的学生牛顿所承袭。
严格说来，这一短暂的会合，并不是欧洲这一时期数学的主流，但它们确实又为欧洲数学呈现的两种方法和范式保持必要的张力，提供了前提。但问题在于，仅仅从这样的前提出发还是不够的。虽然构成微积分的基本概念是从空间直观和经验性的感性材料中产生出来的，但它又是这些直观和感性材料系统化、抽象化的产物。即使是改变了欧洲人数学范式的传统数的概念以及算术体系，这时也已经发生了质的变化。正如斯宾格勒指出的，由于函数的观念，传统算术的基本属性彻底消失了。例如，乘方最初只是数字化地表示一组相同的数值的连乘积，后来经由指数观念（对数），以及它在复数、负数和分数形式中的应用，已经与数量大小完全没有了联系。而且，函数改变了那种从视觉上加以界定的“数系”的可变关系。当我们看到3X+4X=5X和xn+yn=zn（费马定理的方程式）两个方程式时，它们的性质是不同的。前一个方程式由具有量的数字构成，后一个方程式则属于一种数系；前一个确立了明确的数量关系，后一个通过符号表示其中一些发生变化则另一些也会发生变化；前一个有确定的目标和确定的来量，后一个则只是一种关系，没有确定的结果，因而它并不需要运算它们的值。换句话来说，后一个方程式根本就不是实体意义上的数，而是表示一种关系的符号——缺乏数量、形状、独特意义等内涵——是表示具有相同特性的可能位置的无穷性的符号。一句话，传统的数由“量”变成了“关系”。[138]
作为17世纪微积分的真正发明者，牛顿和莱布尼茨（此处重点讨论牛顿的微积分思想）之所以比他们同时代人和前辈看得更远，是因为他们站在了巨人的肩膀上。他们两人的贡献不仅在于认识到“微积分基本定理”这个数学事实，而且还在于他们根据这个事实从以前许许多多的无穷小方法中总结出用于系统计算的强有力的算法。这其中，同样体现出两种基本的数学方法的交织使用。尽管我们已经很难廓清这样两种方法的原有脉络。
