一、极大似然估计
关于极大似然估计，我们可以先看一个例子：
某位同学与一位猎人一起外出打猎时，一只野兔从前方窜过。只听一声枪响，野兔应声倒下，如果让你推测，这一发命中的子弹是谁打的，你就会想，只发一枪便打中，由于猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率，看来这一枪是猎人打的。
在上述例子中，关于结果所做的推断（执果寻因）就体现了极大似然估计的基本思想。
我们以DINA模型为例，通过估计其项目参数来讲解极大似然估计的原理和过程。
若我们已获得所有被试在测验第i题上的作答得分向量（x1，x2，x3，…，xn），以及所有被试的属性掌握模式αj（j=1，2，…，n），该题的属性向量为qi。我们的目标是估计未知的项目参数βiη。
因此，求项目参数βiη的估计值的问题，就变成了求似然函数L（βiη）的最大值的问题。而求函数极大值的问题，只要导函数存在，一般就会转化为求函数对未知参数的一阶导并令其为0的方程根的问题。所以，求上面这个似然函数极值的问题可通过解下面这个方程：
来解决。解这个方程得到的βiη值，就是项目参数的合理估计值。
似然函数式（7-2）为概率的连乘积，如果对该似然函数式取对数，则可以转换为概率连加和的形式，这将大大简化计算过程。而且，因为lnL是L的增函数，所以，lnL与L会在相同位置取得最大值。我们称l（βiη）=lnL（βiη）为对数似然函数（log-likelihoodfunction）。因此，我们常将方程（7-3）写成：
方程（7-4）称为对数似然方程。解方程（7-4）或（7-3）得到的值，就是项目参数的极大似然估计值。
总结求极大似然估计值的一般步骤如下：
①导出样本结果的联合概率函数（或联合密度）；
②把样本联合概率函数（或联合密度）中因变量看作已知常数，而把未知参数看作自变量，得到似然函数；
③求似然函数的极大值点（常转化为求对数似然函数的极大值点）；
④在极大值点的表达式中，将样本值代入就得到参数的极大似然估计值。
二、牛顿-拉夫逊迭代
解似然方程的过程经常会用到迭代算法。运用最多的迭代算法就是牛顿-拉夫逊迭代方法。牛顿-拉夫逊迭代方法是在解牛顿迭代式基础上进行的。设r是f（x）=0的真实根，但这个根有时候很难或无法通过直接解方程的方法求出来，于是我们会采用迭代算法，以得到r的一个近似估计值。迭代的过程如下：首先，选取x0作为r的初始近似值；然后，过点[x0，f（x0）]做曲线y=f（x）的切线L，可以知道L的方程为y=f（x0）+f′（x0）（x-x0），于是，可以求出切线L与轴交点的横坐标x1=x0-f（x0）/f′（x0），称x1为r的一次迭代近似值。接着，过点[x1，f（x1）]再次做曲线y=f（x）的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标x2=x1-f（x1）/f′（x1），称x2为r的二次迭代近似值。重复以上过程，就可以得到r的一个近似值序列（x1，x2，…，xn，xn+1），其中，
称为r的第n+1次迭代近似值，式（7-5）亦称为牛顿迭代式，而式（7-6），
也就成为迭代过程中估计值的校正公式。当然，迭代过程不可能无休止地进行下去，必须设定一个中止规则。常用的中止规则就是，当相邻的两个迭代近似值之间的差异小于某个足够小的预先设定值，如0.01时，中止迭代过程，也就是迭代校正公式中ε＜0.01，以最新的迭代近似值作为方程f（x）=0的根r的一个近似估计值。我们可以将以上迭代算法的过程通过几何图形的形式加以直观解释，如图7-1所示。
图7-1 牛顿迭代过程图
