从上面可以看出，鲍克和阿特金关于项目参数估计的EM算法，是在两个不同假设条件下的一阶导式子之间的对应关系基础上提出来的。另外，在处理指数概率模型族的参数的极大似然估计过程中，当参数的估计出现缺失信息时，有人提出了不完整数据处理的EM算法。鲍克和阿特金基于这个缺失数据处理原理的角度，也提出了与我们上面讲到的相同的EM参数估计步骤。
在认知诊断评价理论中，被试在测验项目上的作答被分成不同的作答反应模式，每种作答反应模式对应一种属性掌握模式，所有相同作答反应模式的被试的属性掌握模式也是相同的。同时假定被试之间的作答是局部独立的，项目之间的作答也是局部独立的。
三、边际极大似然估计示例
接下来，结合认知诊断评价理论中的DINA模型，并依据了德拉托尔（delaTorre，2009）的推导结果，解释边际极大似然估计及其EM算法在DINA模型项目参数估计中的应用。
DINA模型是一个比较节俭的模型，模型中的被试参数为属性掌握模式，项目参数包括猜测参数和失误参数。
首先，将DINA模型的项目反应函数重新表示为：
然后，建立作答矩阵的边际似然函数：
式子中，L（uj）为被试j作答反应模式的边际似然函数，g（αv）为属性掌握模式αv的先验分布。由于αv是离散变量，因此边际概率积分运算变为累加运算。将上式转化为对数似然函数形式：
接下来就是，找到使对数似然函数达到极大值点的项目参数估计值βiη。于是求对数似然函数对未知项目参数的一阶导函数：
对于DINA模型来说，虽然每个被试的属性掌握模式可能不同，但在某个具体项目上，所有被试的属性掌握模式可以分为两种：掌握了项目要求的所有属性（记为η=1）；未掌握项目要求的所有属性（记为η=0）。相应地，项目反应函数的取值情形也只有两种：当被试掌握了项目要求的所有属性时，Pi（αv）=1-si；当被试未掌握项目要求的所有属性时，Pi（αv）=gi。因此，式（7-27）可以进一步表示为：
当式（7-28）一阶导函数中是对项目参数g求导时，式子右边第二项就等于0。于是，求极大化似然函数logL（U）的项目参数gi值，就是计算出让如下一阶导方程式子成立的gi估计值：
经化简移项后，可得：
同样地，当式（7-28）一阶导函数中是对项目参数s求导时，式子右边第一项就等于0。于是，求极大化似然函数logL（U）的项目参数si值，就是计算出让如下一阶导方程式子成立的si估计值。
经化简移项后，可得：
边际极大似然估计的关键是根据作答反应模式构建边际似然函数。而EM算法的关键是构建两个人工参数R和N。
