波利亚不仅重视学生主动解题，而且将主动解题的训练推广到数学教师那里，并由此对数学教师的培训制度提出质疑。他提醒说：“大家都要求中学阶段应该不仅给学生数学知识，还要培养技能技巧、独立作业、独见和创造能力。然而却没有人向数学老师要求这些优良的品质和能力——这难道不奇怪吗？官方也建议缄默不谈关于数学技巧的事。攻读博士学位的学生要做研究工作，但只是在他要达到这个阶段的时候，他才在研究班讨论会上找到某种独立工作的机会，或是在写硕士论文时得到这种机会。而对于未来的数学教师却没有提供这样的机会——官方建议中没有一句话谈到关于任何种类的独立工作或研究工作。但是，如果一个教师没有过某种创造性工作的实际经验，他又怎能唤起、引导、帮助甚至赏识他的学生们的创造性的活动呢？如果一个教师在数学方面的知识完全是被动地接受过来的，那么他便很难促进他的学生进行主动的学习。如果一个教师生来从未有过奇思妙想，那么他大概会责备一个想出巧主意的学生，而不是鼓励他这样做。”[2]
2．整体学习：为什么提倡“高观点下的初等数学”
如果学生进入了“自学”数学和“超前学习”的状态，接下来他需要考虑的问题是，如何有效地自学？有效的“超前学习”是如何发生的？
为了有效地自学，学生需要对所学的对象保持必要的整体意识，需要有德国数学家克莱因倡导的“高观点下的初等数学”意识。
“高观点下的初等数学”可以有多重解释，它在这里至少意味着整体教学或整体学习。比如，当学生初次接触某个初级的数学知识时，可能会被这个新的陌生的数学知识挡住了学习的去路。但是，当学生对那些相关的数学知识有所了解，或者当学生了解了这个新的陌生的数学知识的来龙去脉时，这个初级的数学知识可能就立刻显得简单而“小菜一碟”。
问题是，数学教材里数学知识恰恰不那么适合学生自学，因为，数学教材提供的知识，往往是“掐头去尾烧中断”的知识。“掐头去尾烧中断”的教学模式在教师讲课那里虽然不成为问题（甚至反而因此而显得很“简便”），但它在学生那里却可能静悄悄地留下无法“理解”的隐患。“当数学科学变得严谨的时候，它表现出一种不可忽视的人为的特性，它忘掉了自己的历史起源，只显示出问题是如何解决的；却没有显示出问题是如何提出的，以及为什么提出的。”[3]
因此，克莱因认为一个数学教师的职责是：“应使学生了解数学并不是孤立的学问，而是一个有机的整体。”数学教师应具备较高的数学观点，只有观点高了，事物才能显得明了而简单。一个称职的数学教师应当掌握或了解数学各种概念、方法及其发展与完善的过程以及数学教育演化的经过。“有许多初等数学的现象只有在非初等的理论结构内才能深刻地理解。”[4]
遗憾的是，初等数学与高等数学之间一直有一条裂缝。这条裂缝与数学教师的培训方式相关。“当他从中学升入大学时，已将中学数学忘记，而在几年后当他回到中学去做一名教师时，又将忘记大学数学，而将几年前断掉的线再接起来。”[5]
初等数学与高等数学的融合对中小学数学教师的知识结构是一个挑战。“高观点下的初等数学”或“融合”之后的初等数学意味着初等数学教师获得了某种“数学历史意识”和“数学整体意识”。它使孩子居高临下地观看和解释数学的来龙去脉成为可能；它使孩子明了数学怎样从生活需要中产生，也让孩子明白数学的某个片段是从哪里来和到哪里去的发展过程。这正是克莱因提倡“高观点下的初等数学”的良苦用心。
“整体数学”实际上道出了一个数学教育的基本秘密，就是将“掐头去尾烧中段”的数学重新还原为“有头有尾”的、“从何处来往何处去”的数学。
