有效的数学学习往往表现出三个特点：一是超前学习，不能亦步亦趋地跟在教师的后面学习数学，最好走在教师的前面自学数学，不让自己因偶然的开小差而掉队。二是整体学习，尽可能进入“高观点下的初等数学”的状态，尽可能站在整体的高度俯视具体的数学问题，尽可能经由超前学习之后而回头来理解前面的简单数学。三是基于问题解决的学习，尽可能使数学表现为生活数学，同时又需要建立稳定的“数感”，使生活问题“数学化”。
1．超前学习：为什么数学学习特别容易掉队
学习任何一门学科都需要学生自学，但是，在语文、数学、外语、历史、地理等各种学科之中，数学尤其需要自学，尤其需要超前学习。原因在于，听讲式的学习总是容易走神、开小差。无论教师如何提醒学生“上课认真听讲”、“不做小动作”、“要集中注意力”、“不要开小差”，但学生总会在某个时刻走神而想入非非。在其他学科，比如语文或历史的课堂教学中，学生偶尔走神、开小差之后尚可以觉醒而继续听讲，只要继续听讲，就可以继续领会。甚至，若学生因意外事故中断一周或一个月的语文听课，学生再次返回语文课堂时，依然可以顺利地延续学习。
但是，数学的教材以及教学与其他学科的教材和教学有显著差异。语文、历史等学科的教材以及教学呈现为“苹果袋式”的结构，人们可以从苹果袋中在任何时间任何地点取出一个苹果。但是，数学的教材以及教学呈现为台阶式的结构。学生如果因开小差或其他原因没有爬过第一级阶梯，那么，他尚可能艰难地直接跳跃到第二级阶梯。可是，如果学生因开小差或其他原因没有爬过第一级阶梯和第二级阶梯，那么，他就几乎不可能飞跃到第三级阶梯。因此，在数学课堂教学中，学生如果偶尔走神、开小差或其他意外事故而中断三五天的数学学习之后，学生再次回头听课时，就很难听懂数学老师的讲课。
既然学生在听课过程中走神、开小差是不可避免的，既然数学的教材以及教学呈现为台阶式的结构，那么，为了不让自己在数学学习中掉队，学生学习数学的唯一办法是选择“自学”的道路并由此而进入“超前学习”的状态。学生在最初自学数学的过程中虽然会感到困难，但是，学生一旦以自学的方式对待数学，数学教材就被转化为类似语文、历史等学科的“苹果袋式”的结构：学生可以在任何时刻任何地方开始自学数学，而且，学生可以在暂停学习数学之后并不因暂时的中断而被淘汰出局。因为，学生可以在暂时中断自学数学之后在任何时刻任何地方重新开始自学数学。
这就是数学学习特别需要自学和超前学习的原因。这也是为什么在各个学科的教学改革中，数学教学改革反复提倡“自学”的原因。尽管“语文教学”在任何国家任何时代都是主流学科，也是历来教学改革成果较多的学科，但是强调“自学”或“自学辅导”、“主动学习”、“自主学习”等教学改革或教学实验，往往始于数学教学领域。比如中国科学院心理研究所卢仲衡主持的“自学辅导教学”实验、江苏邱学华主持的“尝试教学法”实验、上海顾泠沅主持的“尝试指导，效果回授”实验等，最初都发生在数学教学领域，积累经验之后，才逐步向其他学科扩展。
即便在数学教学法研究领域，重视学生自学数学以及主动学习的人也不在少数。比如，美国学者波利亚在提出他的著名的“怎样解题表”时，同时强调“学生主动解题以及教学生主动解题的教师必须有主动解题的经历”。波利亚所讨论的“怎样解题”是以学生主动学习为前提的。他将“主动学习”特别提出来作为他所拟订的三条学习原则中的首要原则（另两条原则是“最佳动机原则”和“循序阶段原则”）。在他那里，主动学习意味着“学习任何东西的最佳途径是亲自独立地去发现它”。[1]
