图76
马先生还叫我们画一条表示6的倍数的线，OP。他说：“由这张图看，当然再不会说，不是2和3的倍数的，便是质数了。你们再用表示6的倍数的一条线OP作标准，仔细看一看。”
经过十多分钟的观察，我发现了：“质数都比6的倍数少1。”
“不错。”马先生说，“但是应得补充一句——除了2和3。”这确实是我不曾注意到的。
“为什么5以上的质数都比6的倍数少1呢？”周学敏提出了这样一个问题。
马先生叫我们回答，但没有人答得上来，他说：“这只是事实问题，不是为什么的问题。换句话说，便是整数的性质本来如此，没有原因。”对于这个解释，大家好像都有点儿莫名其妙，没有一个人说话。马先生接着说：“一点儿也不稀罕！你们想一想，随便一个数，用6去除，结果怎样呢？”
“有的除得尽，有的除不尽。”周学敏说。
“除得尽的就是6的倍数，当然不是质数。除不尽的呢？”
没有人回答，我也想得到有的是质数，如23；有的不是质数，如25。马先生见没有人回答，便这样说：“你们想想看，一个数用6去除，若除不尽，它的余数是什么？”
“1，例如7。”周学敏说。
“5，例如17。”另一个同学说。
“2，例如14。”又是一个同学。
“4，例如10。”其他两个同学同时说。
“3，例如21。”我也想到了。
“没有了。”王有道来一个结束。
“很好！”马先生说，“用6除剩2的数，有什么数可把它除尽吗？”
“2。”我想它用6除剩2，当然是个偶数，可用2除得尽。
“那么，除了剩4的呢？”
“一样！”我高兴地说。
“除了剩3的呢？”
“3！”周学敏快速地说。
“用6除了剩1或5的呢？”
这我也明白了。5以上的质数既然不能用2和3除得尽，当然也不能用6除得尽。用6去除不是剩1便是剩5，都和6的倍数差1。
不过马先生又另外提出一个问题：“5以上的质数都比6的倍数差1，掉转头来，可不可以这样说呢？——比6的倍数差1的都是质数？”
“不！”王有道说，“例如25是6的4倍多1，35是6的6倍少1，都不是质数。”
“这就对了！”马先生说，“所以你刚才用不是2和3的倍数来判定一个数是质数，是不精密的。”
“马先生！”我的疑问始终不能解释，趁他没有说下去，我便问：“由作图的方法，怎样可以判定一个数是不是质数呢？”
“刚才画的线都是表示质数的倍数的，你们会想到，这不能用来判定质数。但是如果从画图的过程看，就可明白了。首先画的是表示2的倍数的线OA，由它，你们可以看出哪些数不是质数？”
“4、6、8……一切偶数。”我答道。
“接着画表示3的倍数的线OB呢？”
“6、9、12……”一个同学说。
“4既然不是质数，上面一个是5，第三就画表示5的倍数的线OC。”这一来又得出它的倍数10、15……再依次上去，6已是合数，所以只好画表示7的倍数的线OD。接着，8、9、10都是合数，只好画表示11的倍数的线OE。照这样做下去，把合数渐渐地淘汰了，所画的线所表示的不全都是质数的倍数吗？——这个图，我们无妨叫它质数图。”
“我还是不明白，用这张质数图，怎样判定一个数是否是质数。”我跟着发问。
“这真叫作百尺竿头，只差一步了！”马先生很诚恳地说，“你试举一个合数与一个质数出来。”
“15与 37。”
“从15横看过去，有些什么数的倍数？”
“3的和5的。”
“从37横着看过去呢？”
“没有！”我已懂得了。在质数图上，由一个数横看过去，若有别的数的倍数，它自然是合数；一个也没有的时候，它就是质数。不只这样，例如15，还可知道它的质因数是3和5。最简单的，6含的质因数是2和3。马先生还说，用这个质数图把一个合数分成质因数，也是容易的。这法则是这样：
例一：将35分成质因数的积。
