今天又是周六，妞妞和爸爸、妈妈都在家里。爸爸给妞妞写书，妈妈做晚饭，妞妞则早早就完成了作业，在看数学兴趣小组的资料。数学老师最近表扬妞妞的次数很多，因为妞妞自从开始看爸爸写的书之后，变化很大。作业板书工整，计算仔细，上课注意力集中。有时写作业、温功课到很晚。遇到难题之后，妞妞再也不是胡乱猜测，而是静下心来思考。“安静会产生智慧。”妞妞现在也常常说这句话。
最让爸爸感动的是有一次爸爸讲的题妞妞怎么都不明白，又说不清自己的问题，着急委屈得直哭，但是妞妞还是坚持要爸爸再讲，擦干眼泪继续思考，直到完全搞明白。和上个学期初相比，很难相信是同一个孩子。爸爸、妈妈、爷爷、奶奶都很高兴，觉得妞妞变得懂事多了。
数学资料上面有一道思考题是这样的：一个8×8的方格，一只蚂蚁从左下（0，0）点爬到右上（8，8）点，只能沿着格子线走，最短路径有多长？有多少条？
妞妞想不清，就拿来问爸爸。“爸爸，最短路径长度我知道，是16，可是有多少条我不太明白如何做。”
“妞妞能不能猜一猜有多少条路径呢？”爸爸看完题，想了一会儿，有意识地逗妞妞。“应该有几十条，比如，这样，这样，都是不一样的路径。”妞妞小手在图上比画。
爸爸拿出一张纸，画了一个8×8格子图，然后开始在图上边讲边写。“从（0，0）到（1，1）有几条最短路径？”
“两条，这是最简单的了。”妞妞回答。
“对！问题就是从最简单的情形开始分析，得出规律后再在复杂的情形下使用。如果把到每个点的最短路径数写下，我们能够看到十分有趣的规律。”说着爸爸在最下一行和最左一列写下了许多的1，在（1，1）点边上写下了2。
“从（0，0）到最下边一行和最左边一列中的所有点的最短路径都只有一条，对不对？”爸爸用铅笔指着图问。
“对，只能是沿直线走，否则就不是最短的路径。”妞妞点点头。
“到（1，1）这一点的最佳路径是2条，分别从（0，0）经过（0，1）或（1，0）到（1，1）。路径和也应该是从（0，0）到（0，1）或（1，0）的最佳路径之和，对不对？简单理解就是如果到（1，1），必须先到（0，1）或（1，0），否则就不可能是最佳路径。”妞妞点点头。
爸爸接着说：“所以从（0，0）到（1，2）的最佳路径数是到（1，1）和（1，0）的最佳路径数之和，也就是2+1=3，对不对？”
“噢，原来是这样呀！这样我就能把所有的点上的数字都写下来！”妞妞十分兴奋，拉过爸爸的纸，一边嘴里喃喃地计算，一边开始在上面写数字。
爸爸微笑地看着妞妞，过了好半天，妞妞算完了，长长出了一口气，“12870条路径！这么多呀！”把舌头伸的长长的，表示自己非常惊讶。
“就是，这和我们的直觉不太一样，但是千真万确是这样的。”爸爸语气很肯定，“你有没有注意到这些数字的规律？”
“它们两边是以对角线对称的。”说着，妞妞在（0，0）和（8，8）之间画了一条线，“两边的数是对称的！”
“妞妞的观察能力真的好厉害！所以如果我们预先知道它们是对称的，那么在计算的时候我们就可以只计算一半就可以了。”爸爸觉得今天的趣味数学话题可以从这里开始了。“爸爸给妞妞讲个趣味数学的故事吧！”
“好耶！”妞妞鼓起掌来。
哥尼斯堡桥梁问题
“俄罗斯加里宁格勒市，在十八世纪时叫哥尼斯堡，还是东普鲁士王国的首都。美丽的普莱格尔河横贯城市，河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸连接了起来，这里是人们闲暇时经常散步的地方。”爸爸说着，开始画出一张图。
“时间长了，免不了有人提出一个有趣的问题，不管你从哪里开始，能不能不重复地走遍这七座桥，最后又回到原来的位置？
“这个城市的居民几乎都被这个看起来很简单又很有趣的问题吸引，很多人尝试了各种各样的走法，但是始终没有人找到这样的一条路，可谁也不能说就不存在这样的一条路。看来要得到一个明确、理想的答案还真不那么容易。”妞妞听爸爸介绍后，自己也开始用指头在图上试着走。”
爸爸接着说：“当29岁的大数学家莱昂哈德·欧拉在1736年访问这个城市时，有人带着这个问题找到他。欧拉是一位数学奇才，是数学史上最多产的数学家，有许多研究成果。欧拉还是许多目前通用的数学符号的发明者，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f（x），等等，至今沿用。据说他的许多研究报告都是在第一次与第二次叫他去吃饭之间的30分钟内写出来的。伟大的欧拉对这个过桥问题经过一番仔细思考后，很快就用一种独特的方法给出了解答。而且开创了一门对后世有巨大影响的学科——拓扑学和图论。”爸爸又开始画图。
“欧拉首先用自己天才的数学思维把这个问题简化。他用点表示岛和陆地，两座小岛和河的两岸分别看作四个点。两点之间的连线表示连接它们的桥，七座桥看作这四个点之间的连线。这样河流、小岛和桥简化为一个网络图，七桥问题就变成网络图能否不提笔一笔画成的问题！
“对七桥问题欧拉的结论是：不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置，因为所有能一笔画出来的图形的奇顶点（通过此点弧的条数是奇数的顶点）的个数必须也只能是0或2个。”妞妞的眼睛里有许多的迷惑，爸爸试图简单解释一下。
“简单地说，当一个人由一座桥（弧）进入一块陆地（点）时，他同时也必须由另一座桥（弧）离开这个陆地，所以每次经过一点必须有两条弧和它相连。从一个起点离开的线与最后回到起点的线亦是两条，因此每一个点相连的弧数必为偶数，方能保证能一笔画出，且回到起点。对不要求回到起点的一笔画问题，可以有两个奇点，一个出发、一个结束。
“七桥问题的图形中，没有一点含有偶数条弧，A点三条弧，B点5条，C点三条，P点三条，因此这个任务是无法完成的。”爸爸讲完了，静静地看着妞妞。
“原来如此！”妞妞把头抬起来，嘘了一口气，“原来是这样！”
“你告诉我这些图能不能够一笔画出？”爸爸在纸上画了三个图，“这就算是给你留的作业吧！”
九个点排成3×3点阵，一笔能把九个点全部联通吗？
