（老师发言）正的，非负的。双非负。（教研员）您看，老教师就是老，能说出双非负。（教师）是一种运算，也是一种结果。是一个二次根式。（教研员）那么您看我对老师们说的进行一个总结，看您是否对它有一个更深入的理解？首先第一个，根号a表示a的算术平方根，这是它的定义。第二个，X的算术平方根平方等于a，那么X应该大于等于0对吧。要求我们是非负数对吗。那么它的结果是什么？唯一确定的。结果的唯一确定性。另外一个，咱们原来学的是什么，X的平方等于a了，X是什么数？是任意实数对吧？那么这个X是不是还算底数？现在是已知底数要求一个什么，一个幂对吗？现在翻过来要求什么，已知幂，求底数。接着就是刚才谈到的那句话，叫双重非负数，根号a，a本身大于等于0，根号a也大于等于0。接着再往下走，就是老师们提到的，加减乘除都是什么，两个数，是不是都是两个数运算的一个结果，那么我们最后呢，现在平方根开方是什么，是一个数。比如根号4，根号4是不是由一个数以及它的运算符号引起的这么一个结果啊。那么再接着认识，它就是一个运算符号对吗？所以我觉得我们对于根号a的认识，到一个归纳提升的时候，在这儿必须到位。所以我在这儿列了一个表，1、2、3、4，您是不是在这儿也能让学生提升到这样，也这样列表列出来，哦！原来是分散学的，现在弄到一块了。
另外一个就是特色的创新，在这两天听课的时候呢，你比如说在育红中学，还有我昨天听课的时候，人家两位老师怎么做的呢？我手中有两个面积为1的小正方形，它们的边长都是1，这些肯定都是老师问的，我现在就这么说了，你是怎么算出来的？同学们手中现在有两个边长为1的小正方形，你能用它们拼成一个面积为2的大正方形吗？产生了学生的一个认识冲突。这是我们以前也设计过的，但是这里面两位老师有自己的想法。那么这种引入方式的优点在哪儿呢？让学生动手操作，调动学生的积极性，然后呢引出了算术平方根的学习的必要性，我干吗要学它？我现在能够表示，但是这个数我不认识的，它在数轴上是哪儿，所以就引出了必要性。但是我感觉，可能有这么一个想法啊，学生的重点可能放在哪儿呢，都放在拼上了，我看了有7到15分钟，甭管好学生差学生。那么好了，您今天的重点是让他们拼呢，还是让他们认识到根号2的存在呢。所以它有它的优势，有它的劣势。那好我也给大家提另外一种方式，但是也是有优劣之分的。您比如说第二种方式呢我就是这么走的，1的平方等于1，这个人人都知道，那么在形上的体现就是边长为1的正方形面积为1。那么边长为2的时候面积等于4，我直接就给它展示出来了。那现在引出了这么一个问题，谁的平方等于2呢？也就是说，我现在面积为2，那么谁的平方等于2呢？有老师们跟我说，学生们会问，真的存在面积为2的吗？存在不存在我觉得可以借助于上面研究的问题，那么我现在有两个正方形，你现在拼完了以后看看有没有面积为2的？那么我这样的，我的优势在哪里，我的优势在于我引入了算术平方根的必要性，另外一个，能够让学生快速地进入状态，此外，我从代数和几何两个角度认识，一个是代数的数的发展的知识，它的必然趋势导致的，我缺数了，我不够用了。第二个，从形的情况来展示，那也就是，我从两个角度来同时入手，让学生来感受根号2。但是它不足之处呢，就是不如你第一种方式，人家那个特别引人入胜，让学生一下子就把注意力都集中了，特别能够调动学生的胃口。这两种引入方式各有优劣，那么老师在选择的时候不妨把您的想法融入到您的教学当中。
今天不能讲的太多，今天主要是期中的复习。我主要是针对老师们在教学中出现的问题（跟大家交流一下）。然后呢，我们请八一中学的于晓静老师给我们做关于期中的复习交流，现在让我们以热烈的掌声来欢迎于老师。
附录2：海淀区八一中学于晓静老师：“八年级（上）期中复习建议”
附录3：初三某数学教研员难题分析（未参加青年教师教学基本功大赛辅导的教师）
刚才大家也看到了，刚才×××老师在给大家的定位上，尤其是基本要求的题目相对多一些。为什么较高要求的题目没有给大家提供，最重要的一点就是我们新课标有一句话叫上不封顶，那么到了学生那里尤其是我们的学生，个体层次都不一样，因此我觉得在这儿由学校各自的情况来定。我想插一句话，刚才有几位老师走是因为在5号、6号教室有一个基本功大赛的培训，所以，如果要去您动作快点赶紧去。
留下的老师来看一下，按照以往的教学方式我们可能到这儿就结束了。但是我总觉得大家来一次不容易，所以我想跟大家做一些交流。最重要的一点，老师们咱们来做一下下面这道题好吗？（具体讲题以及板书过程省略，可参见附录4）
最后，教研员小结。
