双流中学 赵一凡
（一）原题再现
人教A版，高中《数学2》（必修）第115页，即第三章《直线与方程》复习参考题B组第8题为：
过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x-y-2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程。
（二）多视角探究
这是一道求解直线方程的问题，对于求直线方程的问题，一般可以使用两种解题方法：“直接代入法”和“待定系数法”。但是无论使用怎样的方法，处理解析几何问题都要把握“数形结合”的思想方法。
1.探究视角1
设直线l与l1，l2的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）。
评注：在已知直线上一个定点P的条件下，本视角以求出直线上异于点P的点的坐标为出发点。不过解法中引入了四个未知量，因此需要四个独立的方程。
2.探究视角2
设直线l与l1，l2的交点分别为A，B。
①当直线l的倾斜角α=90°时，A（3，4），B（3，-6），从而线段AB中点坐标为（3，-1），不合题意。
②当直线l的倾斜角α≠90°时，设直线l的斜率为k，则l：y=k（x-3）。
评注：在已知直线上一个定点P的条件下，本视角以求出直线的斜率为出发点。对于熟悉待定系数法求直线方程的同学，本视角是容易想到的。
3.探究视角3
评注：本视角基于数形结合的思想方法，有效利用三角形中位线的性质解决求直线方程的问题。
（三）各探索视角总评
上述三种解题方法基于两种不同的出发点，即求直线上另一点坐标（体现在视角1和视角3中）、求直线的斜率（体现在视角2和视角3中），使用两种不同的方法，即直接代入法（体现在视角1和视角3中）、待定系数法（体现在视角2中），都达到了求直线方程的目标。其中视角3更充分地体现了数形结合思想方法的运用，又涉及平行直线系的性质、对称问题。
三种方法难易程度相当，所涉及的知识、技能、思想方法全都是《直线与方程》一章的重要内容，根本的处理手段都是“列方程、解方程”的方程思想，能够达到复习本章内容的目的，作为复习参考题当之无愧。
如果我们反思三种方法，认为“距离”这一重要概念没有得到体现的话，我们甚至可以弥补这一缺憾。由P为AB中点，得SΔAKP=SΔBKP。若设点P到直线l1的距离为d1，到直线l2的距离为d2，则KA·d1=KB·d2，亦可建立一个A、B坐标的方程。结合其他三个条件：A在l1上，B在l2上，A、P、B三点共线，便可建立方程组，解出A、B坐标。只是这样解题运算量更大一些。
（四）变式探究
有一条直线l，它与两条直线l1：2x-y-2=0与l2：x+y+3=0相交得一个三角形。若点P（3，0）是该三角形的①垂心，②重心，③外心，分别求直线l的方程。
①直线l的方程是5x+4y+21=0；②直线l的方程为8x-y-36=0；③直线l的方程是57x-21y-89=0。
评注：变式通过既改变原题的条件，又改变原题的结论实现构造。改变之后，题目更突出体现了数形结合的思想方法求直线的方程。
（五）教学启示
1.以教材为根，以通法为本
任何困难的问题，要么是技巧性强不容易想到的，要么是知识点多容易混淆的。前者的不可控因素太多，然而后者，只要做到以教材为根，以通法为本，就会大有裨益。当下学生对于教材的重视程度不足，通过教材习题的探索，让学生注重教材知识、例题与习题，注重解决问题的通性通法，淡化特殊技巧才能以不变应万变，才会站得高看得远[1]。
2.以变式为枪，以思维为靶
变式教学是培养学生思维的发散性和收敛性的强化剂。通过变式教学，让学生掌握构造变式的常用方法：改变已知量、条件、未知量三者中的若干个，在变式的过程中，既能培养“百花齐放”的思维发散性，又能培养“万变不离其宗”的思维收敛性。通过变式构造、求解，既能强化、深化基础知识、基本方法的理解和运用，又能激发学生的创造力。有了变式这把好枪，才能直击思维这块硬靶。
3.以反思为常，以自我完善为目标
没有任何一个问题是完全解决的，没有任何一个学习者是十全十美的。通过问题的探索，培养学生反思的思维习惯，在反思中不断完善知识、方法、习惯等，才能不断地提升自我，完善自我。比如，我们的变式，学生自然而然地会提出，如果所给点是所述三角形的内心，直线的方程又是什么？但是，他们经过探索就会开始反思，对于任何一个可以作为所述三角形内心的点都存在无数条直线满足题意；也会开始反思：合情推理是需要检验的，严谨的治学态度是需要保持的。研究指出“反思”和“给别人讲”是效果最佳的两种学习方法，然而反思不能仅仅停留在解题上、学习上，反思更应该成为一种思维的行为习惯和生活习惯。
参考文献
[1]曲文瑞，李学军.横看成岭侧成峰——对一道平面向量试题的多角度探究及拓展[J].中学数学教学参考：上旬，2014（8）.
[2]关保华.一道课本习题引发的探究[J].中学数学教学参考：上旬，2014（8）.
[3]波利亚.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2007.
