现在，假设有一种现象，每天发生一次，或不发生一次。例如“客人总数超过100人”的现象，假设其发生的概率为p，则不发生的概率便为1-p。以10天为单位，对该现象进行观察，结果是10天当中有4天发生了，而剩余的6天没有发生。这时，推断概率p为多少才算合适呢？
关于这一点，最自然的推断应该是这样的：既然10天中有4天发生了该现象，那么概率p应该是4÷10＝0.4。这与统计学中，求“发生次数的平均值”，并以此作为p的推断值，道理是相同的。如果用数值1表示该现象发生，数值0表示该现象未发生，那么观察的数值中，1有4个，0有6个。用相加之和10来相除，平均值为0.4。
此处，有一个疑问是：为何要将发生次数的平均值作为该现象发生概率p的推断值呢？仔细想想，“在这几次当中，该现象发生了几次”与“该现象发生的概率”，其实并没有直接的关联。而为其添加理由的时候，就是运用了极大似然原理。
关于发生概率为p的现象，以下，将“10次中恰好有4次发生该现象的概率”L用含p的公式来表示。计算方法会在第10讲中进行解说，此处只给出结果。
“10次中恰好有4次发生该现象的概率”
L＝210×p4×（1-p）6
那么，当概率p发生变化时，概率L的数值又将变为多少呢？下面我们用表计算软件来进行计算。将上述函数用图表8-1来表示，概率p为横轴，概率L的数值为竖轴。
图表8-1 概率L的数值
例如，当p＝0.2时，按上述公式210×0.24×0.86计算，得出L约为0.088的结果，即横轴0.2处所对应纵轴的高度。通图看表可知，当p＝0.4时，L达到最大值。那么换言之，将平均值0.4设定为p时，观察到的结果（10次中有4次发生该现象）的概率L也将最大。因此，在通常的统计推理中，我们一般会将p推算为0.4，并将0.4称为p的“极大似然推算量”。这里使用了“极大似然”这一术语，因此，该方法中运用了极大似然原理，也是显而易见的。实际上，由于p＝0.2时的结果L的概率约为0.088，p＝0.4时的结果L的概率约为0.25，所以我们认为，使结果的概率变大的原因p＝0.4是最佳的。
“极大似然估计量”恰好等于平均值，并不仅限于该例。
关于这一点，可以很轻松地证明出来：观察N次，其中发生了x次，此时的极大似然估计量就是x÷N（使用微分法）。总之，极大似然原理与平均值这一统计量密切相关。
在这里，改变概率p，与在现象发生的原因（类别）中设定先验分布，并使之变化的道理是类似的。因而我们可以这样理解：极大似然估计量的思考方式与贝叶斯推理是存在共通之处的。
总之，以极大似然原理为桥梁，可以让我们明白：标准统计学与贝叶斯统计学之间，存在着共通共融的思想。
第8讲·小结
1．极大似然原理是指，采用使观察到的现象的发生概率最大的原因的原理。
2．我们可以认为，贝叶斯统计学中的先验概率是极大似然原理的应用之一。
3．标准统计学的点推理中，采用使观察到的现象的概率最大的函数作为推断值，这也是极大似然原理的应用之一。
4．普通统计学与贝叶斯统计学的共通思想，便是极大似然原理。
练习题
答案参见此处
做投图钉的实验，测试是针头朝上还是平头朝上。投了3次的结果是：有2次针头朝上，1次平头朝上。以极大似然原理为前提，完成下列（）的填空。
设针头朝上的概率为p，则，
（2次针头朝上，1次平头朝上的概率）
＝3p2×（1-p）
之后，判断p＝0.4和p＝0.7，哪一个的可能性更大。
假设p＝0.4，那么
（2次针头朝上，1次平头朝上的概率）
＝3（）2×（）＝（）…… ①
假设p＝0.7，
（2次针头朝上，1次平头朝上的概率）
＝3（）2×（）＝（）…… ②
①与②相比，（）更大，依据极大似然原理，如果最终要选择其中一个作为答案的话，则p＝（）较为合适。
