在求“这对夫妇第二胎生女孩的概率”时，需要用到“平均值”这一概念。由于这也是概率方面的平均值，专业上把这个数值称为“期待值”。关于期待值的具体内容将会在第18讲进行详细介绍，在这里暂且用图解的方式，对其含义进行简单说明。
首先，在表示所有可能发生的情况（生了女孩的情况）的长方形中，画出填入了后验概率的图。这个图由3个长方形构成的。左边的长方形：纵向长度为类别p＝0.4、横向长度为其后验概率0.27。正中的长方形：纵向长度为类别p＝0.5、横向长度为其后验概率0.33。右边的长方形：纵向长度为类别p＝0.6、横向长度为其后验概率0.4。因此，各个长方形的面积如下：
左边的长方形→0.4×0.27＝0.108
正中的长方形→0.5×0.33＝0.165
右边的长方形→0.6×0.4＝0.24
对于这3个长方形，需要画出一个使横向长度之和与面积之和一致的长方形，即虚线长方形。这个长方形，横边的长度刚好等于1。其理由是，由于3个长方形的横边长度为各类别的后验概率，根据标准化条件进行相加，其结果为1。因此，虚线长方形的纵向边长的长度，与3个长方形的面积之和完全一致。这是“把类别平均化的数值”，即为“类别的期待值”（图表4-8）
图表4-8 计算类别的平均值
具体的计算过程如下所示：
（P的期待值）＝0.4×0.27＋0.5×0.33＋0.6×0.4
＝0.108＋0.165＋0.24
＝0.513
因此，若把这对夫妇的类别（生女孩的概率）进行平均化，则得到结果0.513。这也能够成为解释“这对夫妇第二胎生女孩的概率”的理由。在第19讲中，会针对“满足类别0≤p≤1中所有p的设定”的例子进行说明。
第4讲·小结
1．用概率设定类别，设定其先验概率（因为无法获得数据，而采用了理由不充分原理将其设定为对等）。先验概率是“概率的概率”。
2．设定条件概率（设定类别概率本身即可）。
3．通过获得的信息（生了女孩）中，排除掉所有不可能的情况。
4．关于剩余情况下的概率数值，恢复标准化条件。
5．获得有关类别的后验概率（贝叶斯逆概率）。
6．根据获得的信息，先验概率更新为后验概率（贝叶斯更新）。
7．先验概率和后验概率都是主观概率。
8．因为获得了各个类别（由概率来表现）的概率，通过将其平均化（求期待值），来求类别的平均值。这正是第二胎为女孩的概率。
练习题
答案参见此处
本文将所有的先验概率都设定为均等数值，但这似乎不太妥当。比起其他可能性，p＝0.5的可能性显然更大。因此，我们在此改变一下先前的设定，将先验概率分为以下三类：
类别p＝0.4的概率→0.2
类别p＝0.5的概率→0.6
类别p＝0.6的概率→0.2
在此条件下，求以下过程中的后验概率。
各个类别的先验概率分别为，
（a）＝（）、（b）＝（）、（c）＝（）
添加信息后的条件概率分别为，
（d）＝0.4，（e）＝（）
（f）＝0.5，（g）＝（）
（h）＝0.6，（i）＝（）
九种互不相同的情况的下，生女孩的概率分别为，
（j）＝（）×（）＝（）
（k）＝（）×（）＝（）
（l）＝（）×（）＝（）
如果将“生女孩”的三种情况下的概率进行标准化处理，那么
专栏 column 贝叶斯是何许人也？
发现贝叶斯逆概率的人，名为托马斯?贝叶斯，英国人，生于1702年，卒于1761年。贝叶斯曾在苏格兰的爱丁堡大学学习神学和数学。后来，他继承父业，成为一名牧师。
贝叶斯一边从事牧师的工作，一边研究数学。这并不奇怪。因为在当时，侍奉神职的人们当中，有不少人都在研究数学。
贝叶斯一生中仅写过一篇数学论文，题为《关于概率思考中某一问题的解法的考察》的。贝叶斯逆概率的起点就在这篇论文当中。但贝叶斯本人似乎并不是很重视这一发现，他长期将其搁置一旁，因而我们也无法清楚地知道这篇论文的执笔年份。据推测，应该是在18世纪40年代末的1748年或1749年。
将贝叶斯的发现公之于众的，是他的朋友——同为牧师的理查德?普莱斯。普莱斯受贝叶斯的亲戚所托，调查贝叶斯遗留下来的文献，并发现了前述的那篇论文。普莱斯在整理思路后，于1764年在皇家学会的《哲学纪要》上发表了这篇论文。贝叶斯逆概率自此公之于世。
然而，几乎没有人关注普莱斯的报告内容。后来，由于法国的天才数学家拉普拉斯的研究，才使得情况有所好转。拉普拉斯原本已经在天文学、物理学、数学方面取得了大量优秀成绩。在了解到贝叶斯的研究之前，他就已经写过一篇关于贝叶斯逆概率构想的较为浅显的文章。之后，他听闻普莱斯的研究，并意识到它可能会促使自己的初期研究进一步完善。1781年左右，拉普拉斯一气呵成，将贝叶斯逆概率改编为现今公式的形式。因此也可以说，贝叶斯逆概率的发现也有拉普拉斯的功劳。
