排除掉生男孩后的可能性之后，便不符合标准化条件（所有事件的概率之和为1）了。由于表示生女孩这种可能性（涂有颜色的深色部分的三角形）的面积为0.5，那么，为了把它的面积变为1，需要在保持各线段的比例关系的同时，变更概率密度。只要把每条线段延长到之前的2倍，就能满足标准化条件了（三角形的高度变为之前的2倍）。图表19-3的右侧部分，表示这一步骤完成之后的状态——把左侧的x轴下方的部分翻转过来，再纵向延伸到之前长度的2倍。需要注意的是，右侧部分的图像即为贝塔分布的α＝2、β＝1的情况（见17-4）。这个是在获得了“该夫妇生的第一胎是女孩”这条信息时，关于这对夫妇的类别x的后验分布。同时还需注意的是，它表示的不是后验概率，而是后验分布。这是因为，分布图表示的是概率密度。后验分布如图表19-4所示。
图表19-4 先验分布和后验分布
看图可知，虽然关于该夫妇生第一胎之前的类别x的先验分布，为均匀分布（无论哪种类别x，结果都是相同的）。但在获得了“第一胎为女孩”的信息之后，关于类别x的后验分布，就变更为z＝2x这样的贝塔分布了。这意味着，类别x的后验概率密度，是随着x的增大而增大的。
19-3 第二胎依然为女孩时的推理
为了帮助大家了解采用贝塔分布的优势，下面我们针对该夫妇生的第二胎依然女孩的情况，进行贝叶斯推理。
由于关于类别的先验分布为均匀分布，那么，可以通过两胎连续生女孩的情况设定，来计算结果。而根据第12讲中解说的“贝叶斯推理的序贯理性”这一性质（见12-4），把上一节中求出的后验分布（z＝2x）再次设定为先验分布，并在此基础上，根据“这对夫妇再次生了女孩”的信息，可以得出后验分布是相等的结论。那么，下面我们就用这个方法进行贝叶斯推理吧。
图表19-5 先验分布和后验分布
首先看图表19-5的左侧部分：x轴上方的部分表示先验分布，如设定一样，贝塔分布为y＝2x。下方则表示，在获得“该夫妇生了女孩”的信息之后，各种可能性的划分。先说明结论：下图中涂有颜色部分的界限曲线为抛物线
z＝2x2 …（1）
该抛物线上方涂有颜色的部分，表示该夫妇在类别x的情况下生女孩的概率密度。此外，该夫妇在类别x的情况下，生男孩的概率密度为直线OF和抛物线（1）围成的部分。
第15讲中已经进行了解说：该夫妇在类别x的情况下，生女孩的概率密度为（1）式，是依据“＆的事件的概率法则”。由于该夫妇在类别x的情况下，生女孩的概率密度为x，那么在条件概率p（信息|类别）中，若类别＝“x”、信息＝“女孩”，那么这个概率模型可以设定为：
p＝（女孩|x）＝x
因此，
p（（该夫妇为类别x）＆（类别x的夫妇生了女孩））
＝p（类别x）×p（女孩|x）
＝2x×x
＝2x2
下面，通过图表19-5的右侧部分，来对于“为何概率密度和概率，都能够用乘法运算求出＆的概率密度呢？”的问题进行说明（如果觉得这样的解说很烦琐，可以直接跳过以下内容）。以类别x＝0.7为例：该夫妇的类别0.7这一可能性，近似于x轴上方的小长方形。若把宽度设为d，那么关于以0.7为中心的宽度d的范围的类别x，可以将其概率密度全部视为1.4。那么，该夫妇属于这个长方形（属于这种可能性）的概率为：d×1.4。这里，运用了将概率密度乘以宽度转换为概率的方法。由于属于该情况的夫妇，生女孩的概率为0.7，那么（该夫妇属于类别0.7）＆（类别0.7的夫妇生女孩）这种可能性，便可以认为近似于x轴下方以线段AD为长的长方形。
