当然，我们必须进入更高的维度，因为原子并不是直线。但如果能计算出三维振动的谐波，你就可以得到电子波的形状。很难想象该如何计算（这超出了薛定谔的才能），但幸运的是，不久后，其他数学家给出了答案。
第一个电子谐波呈球形（如下图左）；第二个电子谐波看起来像两个相互挤压的气球，一前一后（如下图右）。
这些球形和哑铃形告诉我们要去哪里寻找电子波。电子并不是像小球一样绕着原子核的，我们应该把电子想象成以原子核为中心的球状振动面。随着能量增加，其形状变得越发复杂（太难了，我画不出来……凭我的艺术修养画不出这些草图，但如果你感兴趣，可以在网页上搜索“s形”“p形”“d形”“f形”）(1)。
原子核周围电子振动的区域不再被认为是“轨道”，所以我们称之为“原子轨道”。当然，“薛定谔轨道”听起来更好。
这最终解释了能量量子化的由来。原子核周围只适合特定的电子谐波，因此特定的原子只能有特定的能量值。在玻尔的壳层理论中，能量层级是一种不知道从哪里冒出来的东西，而在薛定谔更高级的波函数理论中，能量层级是可以预测的。
更妙的是，薛定谔方程告诉我们，这些原子轨道只能以特定的角度结合，而整个化学学科证实了这一预测。
薛定谔方程也摆脱了那些讨厌的量子跃迁。当电子从内层轨道跃迁到外层轨道时，发生的事情就像是振动的跳绳随着你的手改变速度而改变波长。这种转变看起来令人厌恶，但整个过程很平稳，并非瞬间发生。电子从一个轨道变换到另一个轨道时要发射或吸收光子，这是电子波振动成新形状的结果。
唯一的问题
薛定谔方程计算的是波函数，并预测它会如何变化。关于电子我们想知道的一切，波函数都提供了充分的描述。毫无疑问，这是数学美的胜利。前提是你不去问那是什么意思。
你所需要做的，就是输入相关的数字，转动手柄，页面上的符号就会输出可靠的数据，告诉你在特定的情况下电子会发生什么。但……电子波……究竟是什么？
更令人忧心的是，如果不在运算中加入“虚数”，薛定谔方程就无法给出正确的答案。我在本书中尽量不用数学方法解释量子力学，但虚数对这个故事很重要，我们不能轻松地绕开它。所以，亲爱的读者，系好安全带，我们要开始玩数学游戏了！
发挥你的想象力
事情是这样的。取一个负数，比如-2，然后加倍，就得到了-4。我们可以把算式写成：-2×2=-4。
然而，如果我们用-2乘以-2本身，会得到相反的数字。一个负数乘以另一个负数结果是正数，因为负号被抵消了，也就是把负数彻底转变成正数。两个负数相乘得到正数，我们可以写成：（-2）×（-2）=4。
每个人都知道4的平方根是2（如果你不知道……那么，剧透警告！），但这不是完整的答案。事实上，4的平方根是2和-2，因为这两个数与本身相乘都等于4。
这意味着-4的平方根不是-2，因为-2的平方不等于-4。那么负数的平方根是什么？似乎没有任何数字与自身相乘可以得到负数。
为了解决这个悖论，亚历山大港的希腊数学家希罗发明了一种新的数字，这种数字垂直于我们习惯使用的数字。这些数字被定义为负数的平方根，勒内·笛卡尔称之为“虚数”，因为这些数字看起来不切实际。[5]
我们用字母i表示虚数，并把i定义为-1的平方根。-4的平方根是i2，-9的平方根是i3，-16的平方根是i4，以此类推。
虚数看起来像骗人，但话又说回来，数学家经常创造一些概念，在科学家为这些概念创造用途之前，它们看起来毫无意义。毕竟，有一段时间负数听起来很蠢，你能拿出-5个物体吗？
在这个意义上负数不是“真实的”，我们不能够用手数出一个负数，但它们绝对是有用的。电子的电荷与质子的电荷相互抵消，所以正负数是个很好用的系统。
