想象一下，你正沿着海滩散步。这是风和日丽的一天，不过可能有点太热了。突然，你看到了一辆卖冰激凌的小推车。太好了！但等一下：卖冰人似乎正在舀出最后一点冰激凌。没时间了！如果你想尽快赶到推车前，你会走哪条路？当然是直走。
如果海边只有沙地，走直线固然是最快的。但如果部分路段铺上了沥青，情况就会发生变化。在沥青路上，你可以跑得更快，但沥青路并没有直接铺到冰激凌车前。直觉上，你会优化你的路线，一部分走沥青路，一部分走沙滩。这便不再是最短的路线了，而是最快的路线。你知道光也遵循同样的原理吗？观察光的路径，你会发现，它总是走最快的路。你可以用这个原理解释一些基本的光学规律。这个道理概括一下便是“汉密尔顿原理”，即为每个过程采取的行动不是最精简的就是复杂的。这句话很抽象，但大体意思是说，自然界中发生的一切事情都是最优化的。
让我们说回从A点运动到B点会走最快路线的光。这个规律总结一下便是“费马原理”，该原理的名字源于生活在17世纪上半叶的数学家皮埃尔·德·费马。我们测试的第一个例子是光，光从位于A点的一盏灯发出，观察者位于B点。在两点之间，我们放一道墙。在墙下，我们放一面镜子。让我们看看光可能走的所有路线。事实是光的路线有无数条，但是如果我们只取光到镜面，再到观察者的直线，那就是图中画的样子。哪条路线是最快的呢？从墙下那点转折的路线。你是怎么知道的呢？要么是你遵循费马原理选择了那条路径，因为它是最短的，要么是你记住了光的反射定律。该定律规定，反射在镜子上的光的入射角和出射角是相同的。
第二个例子跟冰激凌车和沥青路的例子类似。在B点的观察者观察位于水下A点的一盏灯发出的光。鉴于光在水中的传播速度比在真空中慢，光将不再走直线。现在，光若是要走最快的路线，它要首先经过水中较短的路线，而后进入空气中可以让它运动较快的路线。光线的路线会像我们在图中看到的一样：它将有一个拐点。我们知道，这就是光的“折射”。折射率为n，你可能知道，那刚好是真空中光速除以该介质中的光速。
从经典世界到量子世界
到目前为止，对于“光会走哪条路”这个问题，答案是：“最快的路！”我们现在从经典世界转换到量子力学的世界中来。在这个领域，最重要的贡献者就是理查德·费曼了。描述了基本粒子的相互作用的费曼图就是得名于他。不过，更重要是，费曼不只是画了几张小画，他还和其他物理学家建立了这些图背后的数学框架。这种光与电磁相互作用的理论被称为“量子电动力学”（QED）。在QED中执行计算意味着将这些漂亮的小画用数学公式进行表述，这么做的一个方法便是所谓的“路径积分”。即便对高等物理学科的学生来说，这个形式体系也是相当复杂的。接下来我们就对此做一个介绍。听起来你可能会觉得这部分内容非常抽象，远离日常生活，但其实它可以产生特别有趣的结果，而且可以用全然不同的方法解释相当多的事。我们不妨用费曼本人在他的书《量子电动力学——光与物质的奇异理论》中使用的非常直观的例子来说吧。
让我们回到要从A点运动到B点的光上来。它会选择哪条路呢？你想说最快的路？要是费曼的话，他会回答：“所有的路！”等等——这怎么可能呢？的确，不管那些路线有多蠢，你都要利用路径积分形式体系选取你能拥有的所有路线选择。把与你的所有选择对应的数学公式加到一起，得到的结果我们称其为“概率幅”。既然量子粒子可以像波一样传播，它们也一定会互相干涉。这意味着两个波相加并不一定会产生振幅更大的波。相反，波还可以相互抵消。
要想画下来，你可以给物体运动时每个可能选择的路径分配一个箭头。这个箭头可以像表针一样转动，运动的物体能量越多，箭头旋转的速度就越快。如果现在我们想把那个粒子可能走的所有路径都加在一起，我们就要把所有相应的箭头加在一起。你可以把一个箭头的末尾与另一箭头的起点相连，以此将它们相加。根据它们所指的方向，两个长度相同的箭头可以加成一个长度是原长度两倍的长箭头，或者完全相互抵消。有件事很重要：概率幅，即一个运动过程发生的总概率，它与所加向量的长度相对应。因此，最后得到的箭头越长，这个运动过程发生的可能性就越大。
如果我们再看一眼镜子——现在从费曼路径的视角来看——我们会看到，代表每个路径的箭头都指向不同的方向。如果把它们全都加在一起，我们看到会有许多箭头相互抵消，尤其是那些离中心位置较远的箭头。你可以说，“把一堆随机箭头相加”得到的平均结果是零。但是在中心周围，不同路线在长度上没有太大差别。这就是为什么那里的所有箭头都或多或少地指向同一个方向。而这部分就是造成反射的原因，也是它“赋予了总箭头的长度”。因此，就算使用完全不同的方法，我们也会发现，光线喜欢优先选择距离最短的路线。
你也可以用箭头技术来解释，为什么光在一种介质中时要走直线。靠近直线的时候，箭头又会加起来，而其他有趣的方式加起来的总贡献为零。再举一个例子。如果光可以走几条路，但时间都一样，会怎样？没错，所有的箭头都会指向同一个方向，并且加起来就是一个非常大的总箭头。会聚透镜就是这样的！而大的总箭头对应的是我们在焦点处得到的亮光点。
在粒子物理学的世界里，费曼路径计算也会导致奇怪的效果。举个例子，希格斯玻色子的衰变有可能以不同的方式进行。直觉上，你会认为既然它有好几种衰变的方式，那这一定增加了衰变的总概率。但是你的感觉是错的。最重要的两种可能性会破坏性地相加，并在很大程度上相互抵消。所以在这种情况下，将两种可能性相加，就会导致总可能性比两种单一可能性中的任何一种都要低。量子力学真是个离奇的世界，不是吗？
